Feladat: Gy.2243 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Máté Nóra 
Füzet: 1986/április, 164 - 166. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Geometriai egyenlőtlenségek, Súlyvonal, Súlypont, Terület, felszín, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/január: Gy.2243

Bizonyítsuk be, hogy a háromszög súlypontján átmenő bármely e egyenes olyan két részre vágja a háromszöget, amelyek területének aránya nem kisebb 4/5-nél és nem nagyobb 5/4-nél. Az e egyenes milyen helyzetében lesz ez az arány éppen 4/5?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük a háromszög csúcsait A, B és C-vel, a súlypontot S-sel!

 
 
1. ábra
 

Tekintsük az S-en átmenő, BC-vel párhuzamos egyenest! Metszéspontját az AB és AC oldallal jelöljük B', ill. C'-vel. Így az ABC háromszöget felosztottuk az AB'C' háromszögre és a BB'C'C négyszögre. Mivel a BC egyenes párhuzamos a B'C' egyenessel, ezért az ABC háromszög hasonló az AB'C' háromszöghöz, és A'B'=23AB miatt az AB'C' háromszög területe az ABC háromszög területének (23)2=49-szerese. Ezért az AB'C' háromszög és a BB'C'C négyszög területének aránya
491-49=45.

Nyilván akkor is ennyi lesz a területek aránya, ha e AB-vel vagy AC-vel párhuzamos.
Tudjuk azt is, hogy ha e átmegy a háromszög valamelyik csúcsán, akkor a két rész területe egyenlő.
Ezekből, és az A, B, C csúcsok szerepének szimmetrikus voltából következik, hogy elegendő a kérdést abban az esetben megvizsgálnunk, amikor e-nek az AB ill. AC oldallal alkotott B1, ill. C1 metszéspontja a B'B ill. C'A szakasz belső pontja (1. ábra).
Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy az egységet úgy választottuk meg, hogy az ABC háromszög területe 1.
B' a B1A szakasz belső pontja, ezért B1 távolabb van AS-től, mint B', és hasonlóan, C1 közelebb van AS-hez, mint C'. Ezekből és abból, hogy B'S=SC', következik, hogy B1S>SC1.
A B1B'S és a C1C'S háromszögekben B'S=SC', továbbá B'SB1=C'SC1, és mivel B1S>SC1, a B1B'S háromszög területe nagyobb a C1C'S háromszög területénél. Ez azt jelenti, hogy
TAB1C1>TAB'C'=49.

Az ábráról viszont az is leolvasható, hogy
TAB1C1<TAB'C'+TBB'S.

Mivel TSAB=13, és B' harmadolja AB-t,
TBB'S=1313=19.

Ennélfogva:
TAB1C1<49+19=59.

Ezzel bebizonyítottuk, hogy
49<TAB1C1<59,
vagyis az e egyenes a háromszöget mindig két olyan részre vágja, amelyek területének aránya nem nagyobb 54-nél és nem kisebb 45-nél. Egyenlőség pedig pontosan akkor áll fenn, ha az e egyenes párhuzamos a háromszög valamelyik oldalával.
 

II. megoldás. Harmadoljuk az ABC háromszög oldalait, majd az oldalakkal párhuzamos egyenesekkel kössük össze a megfelelő harmadolópontokat (2. ábra). Így 9 egybevágó kis háromszögre osztottuk az ABC háromszöget. Ha a súlyponton áthaladó e egyenes párhuzamos a háromszög valamelyik oldalával, akkor egyik partján 4, a másikon pedig 5 kis háromszög található, a részek aránya így 4/5.
 
 
2. ábra
 

Ha e nem párhuzamos az ABC háromszög egyik oldalával sem, akkor pontosan 3 db kis háromszögbe metsz bele, továbbá mindkét partján 3‐3 db teljes kis háromszög található. Az a két kettévágott kis háromszög, amelyik közös csúcsa az ABC háromszög súlypontja, összesen 4 olyan darabra esik szét, amelyek közül 2‐2 nyilván egybevágó. (Lásd az ábrát!)
Ebből következik, hogy e mindkét oldalára még egy kisháromszögnyi terület kerül, így összesen már 4‐4 kisháromszögnyi terület van mind a két oldalon. Így bármelyik rész területe legalább akkora, mint az ABC háromszög területének 49-része. Mivel pedig e még egy kis háromszöget kettévág, mindkét rész területe nagyobb ennél.
 

Ezzel beláttuk, hogy a két terület aránya mindig 45 és 54 közé esik, és hogy pontosan akkor van egyenlőség, ha e párhuzamos a háromszög egyik oldalával.