A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelöljük a háromszög csúcsait , és -vel, a súlypontot -sel!
1. ábra Tekintsük az -en átmenő, -vel párhuzamos egyenest! Metszéspontját az és oldallal jelöljük , ill. -vel. Így az háromszöget felosztottuk az háromszögre és a négyszögre. Mivel a egyenes párhuzamos a egyenessel, ezért az háromszög hasonló az háromszöghöz, és miatt az háromszög területe az háromszög területének -szerese. Ezért az háromszög és a négyszög területének aránya Nyilván akkor is ennyi lesz a területek aránya, ha -vel vagy -vel párhuzamos. Tudjuk azt is, hogy ha átmegy a háromszög valamelyik csúcsán, akkor a két rész területe egyenlő. Ezekből, és az , , csúcsok szerepének szimmetrikus voltából következik, hogy elegendő a kérdést abban az esetben megvizsgálnunk, amikor -nek az ill. oldallal alkotott , ill. metszéspontja a ill. szakasz belső pontja (1. ábra). Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy az egységet úgy választottuk meg, hogy az háromszög területe 1. a szakasz belső pontja, ezért távolabb van -től, mint , és hasonlóan, közelebb van -hez, mint . Ezekből és abból, hogy , következik, hogy . A és a háromszögekben , továbbá , és mivel , a háromszög területe nagyobb a háromszög területénél. Ez azt jelenti, hogy Az ábráról viszont az is leolvasható, hogy Mivel , és harmadolja -t, Ennélfogva: Ezzel bebizonyítottuk, hogy vagyis az egyenes a háromszöget mindig két olyan részre vágja, amelyek területének aránya nem nagyobb -nél és nem kisebb -nél. Egyenlőség pedig pontosan akkor áll fenn, ha az egyenes párhuzamos a háromszög valamelyik oldalával. II. megoldás. Harmadoljuk az háromszög oldalait, majd az oldalakkal párhuzamos egyenesekkel kössük össze a megfelelő harmadolópontokat (2. ábra). Így 9 egybevágó kis háromszögre osztottuk az háromszöget. Ha a súlyponton áthaladó egyenes párhuzamos a háromszög valamelyik oldalával, akkor egyik partján 4, a másikon pedig 5 kis háromszög található, a részek aránya így 4/5.
2. ábra Ha nem párhuzamos az háromszög egyik oldalával sem, akkor pontosan 3 db kis háromszögbe metsz bele, továbbá mindkét partján 3‐3 db teljes kis háromszög található. Az a két kettévágott kis háromszög, amelyik közös csúcsa az háromszög súlypontja, összesen 4 olyan darabra esik szét, amelyek közül 2‐2 nyilván egybevágó. (Lásd az ábrát!) Ebből következik, hogy mindkét oldalára még egy kisháromszögnyi terület kerül, így összesen már 4‐4 kisháromszögnyi terület van mind a két oldalon. Így bármelyik rész területe legalább akkora, mint az háromszög területének -része. Mivel pedig még egy kis háromszöget kettévág, mindkét rész területe nagyobb ennél. Ezzel beláttuk, hogy a két terület aránya mindig és közé esik, és hogy pontosan akkor van egyenlőség, ha párhuzamos a háromszög egyik oldalával.
|
|