Feladat: Gy.2043 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1983/április, 154 - 155. oldal  PDF file
Témakör(ök): Geometriai egyenlőtlenségek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/március: Gy.2043

Adott az ABCD téglalap. Megszerkesztjük azt a k1 kört, amely átmegy A-n és B-n, érinti a CD egyenest, valamint azt a k2 kört, amely A-n és D-n áthaladva érinti BC-t. Jelöljük k1, k2 sugarát rendre r1r2-vel, a téglalap oldalait a-val, b-vel. Bizonyítandó, hogy
r1+r258(a+b).

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a téglalap hosszabbik oldalát a-val. Az A,B pontokon átmenő kör középpontja O1 rajta van az AB szakasz felező merőlegesén, messe ez AB-t F1-ben. Hasonlóan az AD szakasz felező merőlegese messe AD-t F2-ben.

Az O1F1B, ill. O2F2A derékszögű háromszögre felírhatjuk Pitagorasz tételét:
r12=(a2)2+(|b-r1|)2r22=(b2)2+(|a-r2|)2.


Az O1F1=b-r1, ill. r1-b aszerint, hogy a kör középpontja a téglalap belsejébe esik vagy sem. A négyzetre emelés után mindkettő ugyanazt az eredményt adja, azaz
r1=a2+4b28bésr2=b2+4a28a.
Ezt (1)-be helyettesítve kapjuk, hogy
a(a2+4b2)+b(b2+4a2)5ab(a+b).
Ennek az egyenlőtlenségnek a helyességét kell igazolnunk.
Rendezés után
a3-a2b-ab2+b30.
Tovább alakítva kapjuk, hogy
a2(a-b)-b2(a-b)=(a2-b2)(a-b)=(a-b)2(a+b)
s ez valóban nagyobb vagy egyenlő 0, hiszen a és b>0. Egyenlőség csak akkor állhat fenn, ha a=b, azaz az idom négyzet.