Feladat: 1165. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bauer Katalin ,  Chikán B. ,  Cseresnyés Mária ,  Csetényi A. ,  Fischer Ágnes ,  Fodor Zsuzsa ,  Gyimesi A. ,  Horváth L. ,  Kóczy L. ,  Komjáth P. ,  Lengyel J. ,  Morvai I. ,  Pongrácz Gy. ,  Prőhle T. ,  Pukler A. ,  Reviczky J. ,  Sailer K. ,  Sándor P. (Pannonhalma) ,  Simon Júlia ,  Simonyi Gy. ,  Sváb J. ,  Szőnyi Á. ,  Sztrapkovics L. ,  Úry László ,  Veress B. 
Füzet: 1970/január, 16 - 18. oldal  PDF file
Témakör(ök): Bűvös-négyzetek, Sík parkettázás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/december: 1165. matematika gyakorlat

Laci talált egy gumibélyegzőt, lenyomatát az ábra mutatja. Azt állítja, hogy ha egy papírlapra szabályos közökben addig készít vele lenyomatot, míg a papír egy nagyobb kiterjedésű részén minden kis négyzetben lesz már egy-egy szám, akkor bárhogy jelöl ki ezen a részen egy 5 egymás utáni sorból és 5 egymás utáni oszlopból álló nagyobb négyzetet, abban az 1, 2, ..., 24, 25 számok mindegyike éppen egyszer fordul elő, továbbá a számok összege mind az 5 sorban, mind az 5 oszlopban és mindkét átló mentén ugyanannyi lesz. A szabály csak az, hogy az újabb és újabb lenyomatokat az előzőtől 5 kis négyzetoldalnyi távolságra jobbra, majd pedig mindegyik eddigitől ugyanennyivel fölfelé kell eltolni. ‐ Helyes-e Laci állítása?
 


1. ábra
 

Marci a következő tervvel ment Lacihoz: Leutánzom a bélyegződet, de több újítással. Guruló bélyegzőt készítek, a gumihenger palástját én is 9 sorra osztom, de csak 20 oszlopra, az oszlopok választó vonalai lesznek a henger alkotói. Az ábra 9 oszlopát egymás után minden második oszlopba másolom be, először a palást első oszlopán, majd még egyszer a 11. oszlopon kezdve, minden számot a megfelelő sorba. Ezután még az alsó 4 sort fölfelé, a felső 4 sort lefelé 5 sorral eltolva megismétlem. ‐ Végrehajtható-e Marci terve? Hogyan kellene használni ezt a bélyegzőt? Meglesz-e a lenyomatok együttesének a Laci állítása szerinti tulajdonsága?
Lehetne-e az oszlopokat szorosan egymás mellé zárni, és a palástot csak 9 sorra és 5 oszlopra osztani?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Az egymás utáni (egész) számokból képezett, soronként és oszloponként ugyanannyi számot tartalmazó számelrendezést bűvös négyzetnek szokás nevezni, ha a számok összege minden sorban, minden oszlopban és mindkét átló mentén ugyanannyi. Az egy sorban álló számok száma a bűvös négyzet rendszáma.
Nevezzük hasonlóan a Laci bélyegzőjével készített számalakzatot ‐ már előre ‐ 5-ödrendű bűvös kövezetnek (parkettnek). Ekkor Laci fő állítása az, hogy bárhol teszünk rá a bűvös kövezetre egy 5 egységnyi oldalú, négyzet alakú K keretet úgy, hogy oldalai 2‐2 szomszédos számoszlop, ill. számsor között haladjanak, K mindig 5-ödrendű bűvös négyzetet zár körül. (Egységnek természetesen a bélyegző kis négyzeteinek, mezőinek oldalhosszát tekintjük.) Ez természetesen feltételezi annak a kijelentésnek a helyességét is, hogy a kövezet minden mezeje megtelik, K minden sorában és minden oszlopában mindig 5 szám áll. ‐ Megmutatjuk, hogy Laci állításai helyesek.
K minden (az előírás szerinti) helyzetében tartalmazza az 1,2,...,25 számok mindegyikét. Ugyanis bármelyiküket, mondjuk A-t, bármely lenyomatbeli előfordulásától kiindulva ugyanazon sorban 5 mezővel jobbra haladva és ugyanazon oszlopban fölfelé 5 mezővel haladva ismét megtaláljuk a kövezeten, így ha K-nak 1 egységgel pl. jobbra való eltolásával egy A szám a bal szélső oszlopból eltűnik, ugyanakkor megjelenik az új jobb szélső oszlopban. Ugyanez áll a sorokra is.
A mondottak alapján elég azt belátni, hogy K egy helyzetében az 1‐25 számok különböző mezőbe kerülnek; ebből már következik, hogy az egész kövezet megtelik számokkal átfedés nélkül. K-nak abban a helyzetében, melynek bal alsó sarokmezeje a bélyegző kiindulási helyzetében az 5-ös szám sorának és a 25 oszlopának a közös mezeje, a 2. ábra szerint helyezkednek el a számok:

 

 

2. ábra
 

Ábránkban mind az 5 sor (a kereten belül), mind az 5 oszlop és a két átló 65-öt ad összegül. Miután K-t egy-egy oszloppal vagy sorral eltolva az eltűnő oszlop, ill. sor a keret másik szélén újra fellép az elmondottak szerint, így tüstént következik, hogy a sorok és oszlopok összege K minden helyzetében 65, csak az átlók menti összeget kell még ellenőriznünk.
Ehhez belátjuk, hogy az átlósan elhelyezkedő számok is ötösével periodikusan következnek egymás után. Ha K-bármely helyzetéből 5 oszloppal pl. jobbra toljuk, akkor a számoknak ugyanazt az elhelyezkedését találjuk, mint K előző helyzetében. A 2. ábrában ezt a kicsi jegyekkel írt számok mutatják. Ugyanez áll, ha új helyzetéből 5 sorral feljebb, ill. lejjebb toljuk K-t. Ekkor azonban a K eredeti helyzetében jobbra fel, ill. lefelé haladó átló folytatásában megismétlődnek az átlóban elhelyezkedő számok, változatlan sorrendben.
Ezzel állításunkat igazoltuk minden átlóra, hiszen meggondolásunk K bármely helyzetére vonatkozik.
Az átlóbeli számok összegét elég így a fenti kibővített táblázatban a bekeretezett rész első sorából jobbra lefelé haladó átlókra és a kereten kívülről balra lefelé induló átlókra ellenőrizni, és ezek szintén mind 65-öt adnak. ‐ Ezzel Laci állításait igazoltuk.
 

 

3. ábra
 

b) Megmutatjuk, hogy Marci guruló bélyegzőjével lényegében ugyanazt a kövezetet kapjuk, mint Laciéval. Ebből már következik, hogy megvannak a fent látott tulajdonságai. Bélyegzőjének lenyomatán (3. ábra) a számok első bejegyzéseit rendes alakú vastag számjegyekkel írtuk és bekarikáztuk, a XI. oszloptól kezdődő ismétlés számjegyei állók, vastagok (a XXI. oszlop természetesen az I-be jut s í. t.), a föl és lefelé való megismétlések jegyei aprók. A páratlan sorszámú oszlopok mind megteltek, átfedés nincs.
Ha a bélyegzőt a papíron végiggurítjuk (elég azonban egy fordulat is), majd ezt jobbra 5 egységgel eltolva megismételjük (lásd a VI., VIII., ..., XX. oszlop félben csíkozott mezőin levő bejegyzéseket), a keretben megtaláljuk a 2. ábra keretét, csupán az oszlopok jobbról balfelé követik egymást ugyanabban a sorrendben.
Láttuk fentebb, hogy a készített sáv bőven elegendő a kövezet tulajdonságainak megvizsgálásához. Megjegyezhetjük azonban, hogy szélesebb sávot viszont csak nehézkesen készíthetnénk a bélyegzővel, 4 sorát átfedve. És mivel az 1., 2., ..., 5, a 6, 7, ..., 10 stb. számoknak a Lacinál jól látható szabályos elrendeződése Marcinál már úgysem látható, célszerűbb lenne a bélyegzőt úgy készíteni, hogy egyetlen legurítással elkészüljön a kövezet.
c) Az 5-féle oszlop szoros egymás mellé zárásával (Laci és Marci eljárásával egyformán) ,,félig bűvös'' kövezetet kapnánk, a sorok és oszlopok összege megfelelő lenne, az átlóké nem. Ha viszont az oszlopokat a 3. ábra XVI‐XX. oszlopai szerint rendeznénk át, akkor egyetlen legurításban bűvös kövezetnyomtató bélyegzőt kapnánk.