|
Feladat: |
1165. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bauer Katalin , Chikán B. , Cseresnyés Mária , Csetényi A. , Fischer Ágnes , Fodor Zsuzsa , Gyimesi A. , Horváth L. , Kóczy L. , Komjáth P. , Lengyel J. , Morvai I. , Pongrácz Gy. , Prőhle T. , Pukler A. , Reviczky J. , Sailer K. , Sándor P. (Pannonhalma) , Simon Júlia , Simonyi Gy. , Sváb J. , Szőnyi Á. , Sztrapkovics L. , Úry László , Veress B. |
Füzet: |
1970/január,
16 - 18. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Bűvös-négyzetek, Sík parkettázás, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1967/december: 1165. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. a) Az egymás utáni (egész) számokból képezett, soronként és oszloponként ugyanannyi számot tartalmazó számelrendezést bűvös négyzetnek szokás nevezni, ha a számok összege minden sorban, minden oszlopban és mindkét átló mentén ugyanannyi. Az egy sorban álló számok száma a bűvös négyzet rendszáma. Nevezzük hasonlóan a Laci bélyegzőjével készített számalakzatot ‐ már előre ‐ 5-ödrendű bűvös kövezetnek (parkettnek). Ekkor Laci fő állítása az, hogy bárhol teszünk rá a bűvös kövezetre egy 5 egységnyi oldalú, négyzet alakú keretet úgy, hogy oldalai 2‐2 szomszédos számoszlop, ill. számsor között haladjanak, mindig 5-ödrendű bűvös négyzetet zár körül. (Egységnek természetesen a bélyegző kis négyzeteinek, mezőinek oldalhosszát tekintjük.) Ez természetesen feltételezi annak a kijelentésnek a helyességét is, hogy a kövezet minden mezeje megtelik, minden sorában és minden oszlopában mindig 5 szám áll. ‐ Megmutatjuk, hogy Laci állításai helyesek. minden (az előírás szerinti) helyzetében tartalmazza az számok mindegyikét. Ugyanis bármelyiküket, mondjuk -t, bármely lenyomatbeli előfordulásától kiindulva ugyanazon sorban 5 mezővel jobbra haladva és ugyanazon oszlopban fölfelé 5 mezővel haladva ismét megtaláljuk a kövezeten, így ha -nak 1 egységgel pl. jobbra való eltolásával egy A szám a bal szélső oszlopból eltűnik, ugyanakkor megjelenik az új jobb szélső oszlopban. Ugyanez áll a sorokra is. A mondottak alapján elég azt belátni, hogy egy helyzetében az 1‐25 számok különböző mezőbe kerülnek; ebből már következik, hogy az egész kövezet megtelik számokkal átfedés nélkül. -nak abban a helyzetében, melynek bal alsó sarokmezeje a bélyegző kiindulási helyzetében az 5-ös szám sorának és a 25 oszlopának a közös mezeje, a 2. ábra szerint helyezkednek el a számok:
2. ábra Ábránkban mind az 5 sor (a kereten belül), mind az 5 oszlop és a két átló 65-öt ad összegül. Miután -t egy-egy oszloppal vagy sorral eltolva az eltűnő oszlop, ill. sor a keret másik szélén újra fellép az elmondottak szerint, így tüstént következik, hogy a sorok és oszlopok összege minden helyzetében 65, csak az átlók menti összeget kell még ellenőriznünk. Ehhez belátjuk, hogy az átlósan elhelyezkedő számok is ötösével periodikusan következnek egymás után. Ha -bármely helyzetéből 5 oszloppal pl. jobbra toljuk, akkor a számoknak ugyanazt az elhelyezkedését találjuk, mint előző helyzetében. A 2. ábrában ezt a kicsi jegyekkel írt számok mutatják. Ugyanez áll, ha új helyzetéből 5 sorral feljebb, ill. lejjebb toljuk -t. Ekkor azonban a eredeti helyzetében jobbra fel, ill. lefelé haladó átló folytatásában megismétlődnek az átlóban elhelyezkedő számok, változatlan sorrendben. Ezzel állításunkat igazoltuk minden átlóra, hiszen meggondolásunk bármely helyzetére vonatkozik. Az átlóbeli számok összegét elég így a fenti kibővített táblázatban a bekeretezett rész első sorából jobbra lefelé haladó átlókra és a kereten kívülről balra lefelé induló átlókra ellenőrizni, és ezek szintén mind 65-öt adnak. ‐ Ezzel Laci állításait igazoltuk.
3. ábra b) Megmutatjuk, hogy Marci guruló bélyegzőjével lényegében ugyanazt a kövezetet kapjuk, mint Laciéval. Ebből már következik, hogy megvannak a fent látott tulajdonságai. Bélyegzőjének lenyomatán (3. ábra) a számok első bejegyzéseit rendes alakú vastag számjegyekkel írtuk és bekarikáztuk, a XI. oszloptól kezdődő ismétlés számjegyei állók, vastagok (a XXI. oszlop természetesen az I-be jut s í. t.), a föl és lefelé való megismétlések jegyei aprók. A páratlan sorszámú oszlopok mind megteltek, átfedés nincs. Ha a bélyegzőt a papíron végiggurítjuk (elég azonban egy fordulat is), majd ezt jobbra 5 egységgel eltolva megismételjük (lásd a VI., VIII., , XX. oszlop félben csíkozott mezőin levő bejegyzéseket), a keretben megtaláljuk a 2. ábra keretét, csupán az oszlopok jobbról balfelé követik egymást ugyanabban a sorrendben. Láttuk fentebb, hogy a készített sáv bőven elegendő a kövezet tulajdonságainak megvizsgálásához. Megjegyezhetjük azonban, hogy szélesebb sávot viszont csak nehézkesen készíthetnénk a bélyegzővel, 4 sorát átfedve. És mivel az 1., 2., , 5, a 6, 7, , 10 stb. számoknak a Lacinál jól látható szabályos elrendeződése Marcinál már úgysem látható, célszerűbb lenne a bélyegzőt úgy készíteni, hogy egyetlen legurítással elkészüljön a kövezet. c) Az 5-féle oszlop szoros egymás mellé zárásával (Laci és Marci eljárásával egyformán) ,,félig bűvös'' kövezetet kapnánk, a sorok és oszlopok összege megfelelő lenne, az átlóké nem. Ha viszont az oszlopokat a 3. ábra XVI‐XX. oszlopai szerint rendeznénk át, akkor egyetlen legurításban bűvös kövezetnyomtató bélyegzőt kapnánk. |
|