Feladat: F.2953 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dőtsch András ,  Horváth Gábor ,  Pete Gábor ,  Tichler Krisztián 
Füzet: 1993/november, 383 - 384. oldal  PDF file
Témakör(ök): Euler-egyenes, Vektorok lineáris kombinációi, Helyvektorok, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1993/március: F.2953

Az ABC háromszög AB, BC, ill. CA oldalának a C1, A1, ill.B1 olyan belső pontja, amelyre
AC1C1B=BA1A1C=CB1B1A(4)


1-től különböző állandó. Legyenek M és O, ill.M1 és O1 az ABC, ill. A1B1C1 háromszögek magasságpontjai és a köréjük írt körök középpontjai. Bizonyítsuk be, hogy MM1 párhuzamos OO1-gyel.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a feladatban szereplő 1-től különböző állandó k. Ekkor

AC1AB=BA1BC=CB1CA=kk+1ésC1BAB=A1CBC=B1ACA=1k+1.

 
 

1. ábra
 

Válasszuk vonatkoztatási pontnak a körülírt kör középpontját, és a csúcsok helyvektorai legyenek a, b, c. Ismeretes, hogy a háromszög S súlypontjának helyvektora a+b+c3, továbbá az is, hogy M,S,O egy egyenesen, az Euler-egyenesen vannak.
MS=2SO, ezért OM=OA+OB+OC=a+b+c.
Hasonlóan belátható, hogy O1M1=O1A1+O1B1+O1C1.
 
 

2. ábra
 

Ezeket az eredményeket fölhasználva az alábbi könnyen követhető számításokkal kifejezzük az M1M-t az OO1-ral:

OA1=1k+1b+kk+1c,OB1=1k+1c+kk+1a,OC1=1k+1a+kk+1b.O1A1=OA1-OO1,O1B1=OB1-OO1,O1C1=OC1-OO1.O1M1=OA1-OO1+OB1-OO1+OC1-OO1==1k+1(a+b+c)+kk+1(a+b+c)-3OO1=a+b+c-3OO1.


Ezt felhasználva:
OM1=OO1+O1M1=a+b+c-2OO1,
és így
M1M=OM-OM1=a+b+c-(a+b+c-2OO1)=2OO1.

Ez pedig azt jelenti, hogy MM1 párhuzamos OO1-gyel.
 

Megjegyzések. A feladat állítása a k=1 esetben is igaz. Ekkor a 4 pont a két háromszög közös Euler-egyenesére illeszkedik és M1 egybeesik O-val. A megoldásból kiderült, hogy MM1 kétszerese OO1-nek.
 

Tichler Krisztián (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn. IV. o. t.)

 

II. megoldás. Könnyű megmutatni, hogy az ABC és A1B1C1 háromszögek súlypontja közös. (Lásd pl. Bogdán Zoltán: Matematika-feladatok-ötletek-megoldások II. c. könyvének 62. feladatát csekély módosítással). A közös súlypont révén a feladatban szereplő pontok a 2. ábra szerint helyezkednek el. Az Euler-egyenesre vonatkozó ismereteink szerint MS=2SO és M1S=2SO1. Ezért a párhuzamos szelők tételének megfordítása alapján MM1 párhuzamos OO1-gyel.