Kezdőlap


Feladat:	F.2953	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dőtsch András , Horváth Gábor , Pete Gábor , Tichler Krisztián
Füzet:	1993/november, 383 - 384. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Euler-egyenes, Vektorok lineáris kombinációi, Helyvektorok, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/március: F.2953

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a feladatban szereplő $1$ -től különböző állandó $k$ . Ekkor

\begin{matrix} \frac{A C_{1}}{A B} = \frac{B A_{1}}{B C} = \frac{C B_{1}}{C A} = \frac{k}{k + 1} és \frac{C_{1} B}{A B} = \frac{A_{1} C}{B C} = \frac{B_{1} A}{C A} = \frac{1}{k + 1} . \end{matrix}

1. ábra

Válasszuk vonatkoztatási pontnak a körülírt kör középpontját, és a csúcsok helyvektorai legyenek

a, b, c.

Ismeretes, hogy a háromszög

S

súlypontjának helyvektora

\frac{a+b+c}{3}

, továbbá az is, hogy

M, S, O

egy egyenesen, az Euler-egyenesen vannak.

M S = 2 \cdot S O,

ezért

\vec{O M} = \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = a+b+c .

Hasonlóan belátható, hogy

\vec{O_{1} M_{1}} = \vec{O_{1} A_{1}} + \vec{O_{1} B_{1}} + \vec{O_{1} C_{1}} .

2. ábra

Ezeket az eredményeket fölhasználva az alábbi könnyen követhető számításokkal kifejezzük az

\vec{M_{1} M}

-t az

\vec{O O_{1}}

-ral:

\begin{matrix} \vec{O A_{1}} = \frac{1}{k + 1} b + \frac{k}{k + 1} c, \vec{O B_{1}} = \frac{1}{k + 1} c + \frac{k}{k + 1} a, \vec{O C_{1}} = \frac{1}{k + 1} a + \frac{k}{k + 1} b . \\ \vec{O_{1} A_{1}} = \vec{O A_{1}} - \vec{O O_{1}}, \vec{O_{1} B_{1}} = \vec{O B_{1}} - \vec{O O_{1}}, \vec{O_{1} C_{1}} = \vec{O C_{1}} - \vec{O O_{1}} . \\ \vec{O_{1} M_{1}} = \vec{O A_{1}} - \vec{O O_{1}} + \vec{O B_{1}} - \vec{O O_{1}} + \vec{O C_{1}} - \vec{O O_{1}} = \\ = \frac{1}{k + 1} (a+b+c) + \frac{k}{k + 1} (a+b+c) - 3 \vec{O O_{1}} = a+b+c - 3 \vec{O O_{1}} . \end{matrix}

Ezt felhasználva:

\begin{matrix} \vec{O M_{1}} = \vec{O O_{1}} + \vec{O_{1} M_{1}} = a+b+c - 2 \vec{O O_{1}}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} \vec{M_{1} M} = \vec{O M} - \vec{O M_{1}} = a+b+c - (a+b+c - 2 \vec{O O_{1}}) = 2 \vec{O O_{1}} . \end{matrix}

Ez pedig azt jelenti, hogy

M M_{1}

párhuzamos

O O_{1}

-gyel.

Megjegyzések. A feladat állítása a

k = 1

esetben is igaz. Ekkor a

4

pont a két háromszög közös Euler-egyenesére illeszkedik és

M_{1}

egybeesik

O

-val. A megoldásból kiderült, hogy

M M_{1}

kétszerese

O O_{1}

-nek.

Tichler Krisztián (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn. IV. o. t.)

II. megoldás. Könnyű megmutatni, hogy az

A B C

és

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszögek súlypontja közös. (Lásd pl. Bogdán Zoltán: Matematika-feladatok-ötletek-megoldások II. c. könyvének 62. feladatát csekély módosítással). A közös súlypont révén a feladatban szereplő pontok a 2. ábra szerint helyezkednek el. Az Euler-egyenesre vonatkozó ismereteink szerint

M S = 2 \cdot S O

és

M_{1} S = 2 \cdot S O_{1}

. Ezért a párhuzamos szelők tételének megfordítása alapján

M M_{1}

párhuzamos

O O_{1}

-gyel.