A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyen a feladatban szereplő -től különböző állandó . Ekkor | |
1. ábra Válasszuk vonatkoztatási pontnak a körülírt kör középpontját, és a csúcsok helyvektorai legyenek Ismeretes, hogy a háromszög súlypontjának helyvektora , továbbá az is, hogy egy egyenesen, az Euler-egyenesen vannak. ezért Hasonlóan belátható, hogy
2. ábra Ezeket az eredményeket fölhasználva az alábbi könnyen követhető számításokkal kifejezzük az -t az -ral:
Ezt felhasználva: | | és így | |
Ez pedig azt jelenti, hogy párhuzamos -gyel. Megjegyzések. A feladat állítása a esetben is igaz. Ekkor a pont a két háromszög közös Euler-egyenesére illeszkedik és egybeesik -val. A megoldásból kiderült, hogy kétszerese -nek.
Tichler Krisztián (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn. IV. o. t.)
II. megoldás. Könnyű megmutatni, hogy az és háromszögek súlypontja közös. (Lásd pl. Bogdán Zoltán: Matematika-feladatok-ötletek-megoldások II. c. könyvének 62. feladatát csekély módosítással). A közös súlypont révén a feladatban szereplő pontok a 2. ábra szerint helyezkednek el. Az Euler-egyenesre vonatkozó ismereteink szerint és . Ezért a párhuzamos szelők tételének megfordítása alapján párhuzamos -gyel. |
|