Feladat: F.2919 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ágoston Hugó-Attila ,  Csergőffy Tibor ,  Csorba Péter ,  Dienes Péter ,  Dőtsch András ,  Futó Gábor ,  Gergely Levente ,  Imreh Csanád ,  Ivánka Gábor ,  Jurek Zoltán ,  K. L. ,  Kórász Árpád ,  Kucsera Henrik ,  Lengyel András ,  Lengyel Csaba ,  Markót Mihály ,  Maróti Attila ,  Marx Gábor ,  Matuszka Kristóf ,  Megyesi Zoltán ,  Nagy Anett ,  Németh Ákos ,  Rákóczi Bálint ,  Scherer Pál ,  Szabó Szilárd ,  Szeredi Tibor ,  Szőllősi Attila ,  Tichler Krisztián ,  Tóth László ,  Valkó Benedek 
Füzet: 1993/április, 155 - 157. oldal  PDF file
Témakör(ök): Beírt gömb, Terület, felszín, Térfogat, Tetraéderek, Alakzatok köré írt kör, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/szeptember: F.2919

Egy tetraéder lapjai egybevágó háromszögek, beírt gömbjének sugara r. Egy háromszöglapjának szögei α, β, γ, körülírt körének sugara R.
Bizonyítsuk be, hogy
r=Rcosαcosβcosγ.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy az egyenlő oldalú tetraéder befoglalható egy téglatestbe. Legyen ennek a téglatestnek a térfogata V. A tetraéder minden lapja egy V6 térfogatú gúlát vág le a téglatestből, ezért a tetraéder térfogata V3. A tetraéder térfogatát még úgy is megkaphatjuk, hogy csúcsait a beírt gömb középpontjával összekötve, összegezzük a keletkezett négy gúla térfogatát. Ha egy lap területe T, akkor

V3=4Tr3.(1)



Legyenek a téglatest élei x,y,z, a lapátlók pedig a,b,c. A Pitagorasz-tétel szerint x2+y2=a2; x2+z2=b2; y2+z2=c2. Ezekből

x=a2+b2-c22,y=a2+c2-b22,z=b2+c2-a22.(2)


(2) alapján a téglatest térfogata:
V=xyz=(a2+b2-c2)(a2+c2-b2)(b2+c2-a2)8,
amiből ((1)-et fölhasználva és mindkét oldalt abc-vel osztva);
4Trabc=a2+b2-c22aba2+c2-b22acb2+c2-a22bc,(3)
majd beírva a háromszög területére vonatkozó T=abc4R képletet és a koszinusztételt, (3)-ból:
rR=cosαcosβcosγ,
azaz
r=Rcosαcosβcosγ.
 

Valkó Benedek (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o. t.) dolgozata nyomán
 

Megjegyzés. 1. Az olyan tetraédert, amelynek lapjai egybevágók, egyenlő oldalú tetraédernek nevezzük.
 

2. A (2) összefüggésekből láthatjuk, hogy az egyenlő oldalú tetraéder lapjai hegyesszögű háromszögek.
 

3. Legyen a tetraéder köré írható gömb sugara S. Bebizonyítható ‐ lásd pl. Reiman István: A geometria és határterületei c. könyvének 248. oldalán ‐, hogy 3rS. Ugyanezen könyv 89. oldalán azt is megtalálhatjuk, hogy az egyenlő oldalú tetraéder súlypontja, beírt- és körülírt gömbjének középpontja egybeesik. Utóbbi tétel könnyen belátható következménye, hogy S=r2+R2, amiből feladatunk állítása segítségével

S2=R2cosαcosβcosγ+R2,S=R1+cosαcosβcosγ.


Tehát a körülírt gömb sugara r-hez hasonlóan kifejezhető α,β,γ és R segítségével.
 
 

Az előbb idézett tétel szerint
3RcosαcosβcosγR1+cosαcosβcosγ,

amiből
cosαcosβcosγ18.(4)
A (4) eredmény egy önmagában is fontos trigonometriai egyenlőtlenség, gondolatmenetünkből hegyesszögű háromszögekre következik, tompaszögű és derékszögű háromszögekre pedig nyilvánvalóan igaz.
 

4. Minden tetraéder befoglalható egy paralelepipedonba úgy, hogy a tetraéder élei a paralelepipedon lapátlói legyenek. Ezt belátandó, jelöljük az ABCD tetraéder három, egy csúcsból kiinduló élére fektetett DA,DB,DC vektort rendre a, b, c-vel. Olyan x, y, z vektorokat keresünk, amelyekre x-y=a, z-y=c, x+z=b. Ezt az x, y, z-re vonatkozó egyenletrendszert könnyen megoldhatjuk, és azt kapjuk, hogy a követelményeknek egyetlen vektorhármas (és egyetlen paralelepipedon) tesz eleget, éspedig
x=12(a+b-c),y=12(-a+b-c),z=12(-a+b+c).