Kezdőlap


Feladat:	F.2919	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ágoston Hugó-Attila , Csergőffy Tibor , Csorba Péter , Dienes Péter , Dőtsch András , Futó Gábor , Gergely Levente , Imreh Csanád , Ivánka Gábor , Jurek Zoltán , K. L. , Kórász Árpád , Kucsera Henrik , Lengyel András , Lengyel Csaba , Markót Mihály , Maróti Attila , Marx Gábor , Matuszka Kristóf , Megyesi Zoltán , Nagy Anett , Németh Ákos , Rákóczi Bálint , Scherer Pál , Szabó Szilárd , Szeredi Tibor , Szőllősi Attila , Tichler Krisztián , Tóth László , Valkó Benedek
Füzet:	1993/április, 155 - 157. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt gömb, Terület, felszín, Térfogat, Tetraéderek, Alakzatok köré írt kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/szeptember: F.2919

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy az egyenlő oldalú tetraéder befoglalható egy téglatestbe. Legyen ennek a téglatestnek a térfogata $V$ . A tetraéder minden lapja egy $\frac{V}{6}$ térfogatú gúlát vág le a téglatestből, ezért a tetraéder térfogata $\frac{V}{3}$ . A tetraéder térfogatát még úgy is megkaphatjuk, hogy csúcsait a beírt gömb középpontjával összekötve, összegezzük a keletkezett négy gúla térfogatát. Ha egy lap területe $T$ , akkor

\begin{matrix} \frac{V}{3} = 4 \frac{T r}{3} . & (1) \end{matrix}

Legyenek a téglatest élei

x, y, z

, a lapátlók pedig

a, b, c

. A Pitagorasz-tétel szerint

x^{2} + y^{2} = a^{2}

;

x^{2} + z^{2} = b^{2}

;

y^{2} + z^{2} = c^{2} .

Ezekből

\begin{matrix} x = \sqrt[]{\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2}}, y = \sqrt[]{\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2}}, z = \sqrt[]{\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2}} . & (2) \end{matrix}

(2) alapján a téglatest térfogata:

\begin{matrix} V = x y z = \sqrt[]{\frac{(a^{2} + b^{2} - c^{2}) (a^{2} + c^{2} - b^{2}) (b^{2} + c^{2} - a^{2})}{8}}, \end{matrix}

amiből ((1)-et fölhasználva és mindkét oldalt

a b c

-vel osztva);

\begin{matrix} \frac{4 T r}{a b c} = \sqrt[]{\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b} \cdot \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} \cdot \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}}, \end{matrix}

(3)

majd beírva a háromszög területére vonatkozó

T = \frac{a b c}{4 R}

képletet és a koszinusztételt, (3)-ból:

\begin{matrix} \frac{r}{R} = \sqrt[]{cos α cos β cos γ}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} r = R \sqrt[]{cos α cos β cos γ} . \end{matrix}

Valkó Benedek (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o. t.) dolgozata nyomán

Megjegyzés. 1. Az olyan tetraédert, amelynek lapjai egybevágók, egyenlő oldalú tetraédernek nevezzük.

2. A (2) összefüggésekből láthatjuk, hogy az egyenlő oldalú tetraéder lapjai hegyesszögű háromszögek.

3. Legyen a tetraéder köré írható gömb sugara

S

. Bebizonyítható ‐ lásd pl. Reiman István: A geometria és határterületei c. könyvének 248. oldalán ‐, hogy

3 r \leq S

. Ugyanezen könyv 89. oldalán azt is megtalálhatjuk, hogy az egyenlő oldalú tetraéder súlypontja, beírt- és körülírt gömbjének középpontja egybeesik. Utóbbi tétel könnyen belátható következménye, hogy

S = r^{2} + R^{2}

, amiből feladatunk állítása segítségével

\begin{matrix} S^{2} = R^{2} cos α cos β cos γ + R^{2}, \\ S = R \sqrt[]{1 + cos α cos β cos γ} . \end{matrix}

Tehát a körülírt gömb sugara

r

-hez hasonlóan kifejezhető

α, β, γ

és

R

segítségével.

Az előbb idézett tétel szerint

\begin{matrix} 3 R \sqrt[]{cos α cos β cos γ} \geq R \sqrt[]{1 + c o s α cos β cos γ}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} cos α cos β cos γ \leq \frac{1}{8} . \end{matrix}

(4)

A (4) eredmény egy önmagában is fontos trigonometriai egyenlőtlenség, gondolatmenetünkből hegyesszögű háromszögekre következik, tompaszögű és derékszögű háromszögekre pedig nyilvánvalóan igaz.

4. Minden tetraéder befoglalható egy paralelepipedonba úgy, hogy a tetraéder élei a paralelepipedon lapátlói legyenek. Ezt belátandó, jelöljük az

A B C D

tetraéder három, egy csúcsból kiinduló élére fektetett

\vec{D A}, \vec{D B}, \vec{D C}

vektort rendre

a, b, c

-vel. Olyan

x, y, z

vektorokat keresünk, amelyekre

x-y=a

z-y=c

x+z=b

. Ezt az

x, y, z

-re vonatkozó egyenletrendszert könnyen megoldhatjuk, és azt kapjuk, hogy a követelményeknek egyetlen vektorhármas (és egyetlen paralelepipedon) tesz eleget, éspedig

\begin{matrix} x = \frac{1}{2} (a + b - c), y = \frac{1}{2} (- a + b - c), z = \frac{1}{2} (- a + b + c) . \end{matrix}