Feladat: F.2871 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Faragó Gergely ,  Kálmán Tamás ,  Párniczky Benedek ,  Tichy Eszter 
Füzet: 1993/január, 12 - 13. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb sokszögek hasonlósága, Középpontos tükrözés, Párhuzamos szelők tétele, Egyéb sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/október: F.2871

Bizonyítsuk be, hogy egy legalább 5 oldalú konvex sokszögnek van olyan csúcsa, amelyet egy alkalmas átló felezőpontjára tükrözve a sokszög belső pontjához jutunk.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I.megoldás. Jelöljük a sokszög csúcsait A1,A2,...,An-nel (n5), az Ai csúcsnál lévő szöget pedig αi-vel. Válasszuk ki a sokszög két olyan szomszédos szögét, amelyek összege nagyobb 180-nál. Ilyen két szomszédos szög biztosan van, hiszen ellenkező esetben α1180-α2,α2180-α3,...,αn180-α1 lenne, amiből α1+α2+...+αnn180-(α1+α2+...+αn), és így 2(α1+α2+...+αn)n180. Figyelembe véve, hogy az n oldalú sokszög szögeinek összege (n-2)180,2(n-2)180n180 adódik, amiből n4. Ez ellentmondás, ezért van két olyan szomszédos szög, amelyek összege 180-nál nagyobb. Föltehetjük, hogy α1+α2>180. Kicsinyítsük a sokszöget 1:2 arányban az A1 pontból. Ekkor A1 képe önmaga, az A2 és An képe az A1A2, ill. A1An oldal felezőpontja, minden további Ai csúcs képe pedig az A1Ai átló felezőpontja.

 
 

1. ábra
 

Ezért a kicsinyített sokszöglemez pontjai ‐ az A1-ből kiinduló két oldal pontjait kivéve ‐ az eredeti n-szög belső pontjai. Ugyanezeket mondhatjuk el a sokszög A2-ből való 1:2 arányú kicsinyítésére.
Állítjuk, hogy a két kicsinyített sokszög egyikének belső pontja lesz a másik valamelyik csúcsa. Jelöljük az Ai csúcs képét az A1, ill. A2 középpontú kicsinyítésben A'i, ill. A''i-vel. Föltehetjük, hogy az An csúcs nincs távolabb az A1A2 egyenestől, mint az A3. Ezért az A'nA''3 szakasz metszi az A'2A'3 szakaszt egy H pontban. Tekintsük az A'nA''3 egyenesnek azt a félsíkját, amelyben A1 is van, hozzászámítva a félsíkhoz az egyenes pontjait is. A sokszög konvexsége következtében ebben a félsíkban benne van az A''n, de nincs benne az A'n-1. Az A'3 pont vagy a félsík határán van, vagy ugyancsak nincs ebben a félsíkban. (Akkor lesz a félsík határán, ha az An és A3 pontok ugyanolyan távolságra vannak az A1A2 egyenestől.) Ezért A''n az A1 csúcsból való kicsinyítéssel kapott sokszögnek belső pontja. Így, ha A''n-re tükrözzük A1-et, az eredeti sokszög egy belső pontjához jutunk. MivelA''n egy átló felezőpontja, azért igaz a feladat állítása.
 

II. megoldás. Az I. megoldáshoz hasonlóan feltehető, hogy az A1 és A2 csúcsoknál fekvő szögek összege 180-nál nagyobb. Ismét föltehetjük, hogy A1-nek An szomszédja legföljebb akkora távolságban van az A1A2 egyenestől, mint A3. Bizonyítjuk, hogy ekkor A1-nek az AnA2 átló F felezőpontjára való P tükörképe belső pontja a sokszögnek (2. ábra).
 
 

2. ábra
 

Az AnA1A2P négyszög nyilván parallelogramma. Azt kell belátnunk, hogy az An-en át A1A2-vel húzott párhuzamos az A2A3 oldalt egy belső N pontjában metszi (vagy éppen A3-ban), és hogy AnN>AnP=A1A2.
Első föltevésünk (ti. az A1A2 oldal kiválasztása, α1+α2>180 alapján) azt jelenti, hogy az AnA1 és A3A2 egyenesek M metszéspontjára AnM>A1M, és így a párhuzamos szelők tételét felhasználva következik, hogy
AnNA1A2=AnMA1M>1,
ezért AnP=A1A2<AnN.
Második föltevésünk szerint A3MNM, tehát P valóban belső pontja az AnN szakasznak.