Kezdőlap


Feladat:	F.2871	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Faragó Gergely , Kálmán Tamás , Párniczky Benedek , Tichy Eszter
Füzet:	1993/január, 12 - 13. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb sokszögek hasonlósága, Középpontos tükrözés, Párhuzamos szelők tétele, Egyéb sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/október: F.2871

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I.megoldás. Jelöljük a sokszög csúcsait $A_{1}, A_{2}, ..., A_{n}$ -nel $(n ⩾ 5)$ , az $A_{i}$ csúcsnál lévő szöget pedig $α_{i}$ -vel. Válasszuk ki a sokszög két olyan szomszédos szögét, amelyek összege nagyobb $180^{\circ}$ -nál. Ilyen két szomszédos szög biztosan van, hiszen ellenkező esetben $α_{1} ⩽ 180^{\circ} - α_{2}, α_{2} ⩽ 180^{\circ} - α_{3}, ..., α_{n} ⩽ 180^{\circ} - α_{1}$ lenne, amiből $α_{1} + α_{2} + ... + α_{n} ⩽ n \cdot 180^{\circ} - (α_{1} + α_{2} + ... + α_{n})$ , és így $2 (α_{1} + α_{2} + ... + α_{n}) ⩽ n \cdot 180^{\circ}$ . Figyelembe véve, hogy az $n$ oldalú sokszög szögeinek összege $(n - 2) \cdot 180^{\circ}, 2 (n - 2) \cdot 180^{\circ} ⩽ n \cdot 180^{\circ}$ adódik, amiből $n ⩽ 4$ . Ez ellentmondás, ezért van két olyan szomszédos szög, amelyek összege $180^{\circ}$ -nál nagyobb. Föltehetjük, hogy $α_{1} + α_{2} > 180^{\circ}$ . Kicsinyítsük a sokszöget $1 : 2$ arányban az $A_{1}$ pontból. Ekkor $A_{1}$ képe önmaga, az $A_{2}$ és $A_{n}$ képe az $A_{1} A_{2}$ , ill. $A_{1} A_{n}$ oldal felezőpontja, minden további $A_{i}$ csúcs képe pedig az $A_{1} A_{i}$ átló felezőpontja.

1. ábra

Ezért a kicsinyített sokszöglemez pontjai ‐ az

A_{1}

-ből kiinduló két oldal pontjait kivéve ‐ az eredeti

n

-szög belső pontjai. Ugyanezeket mondhatjuk el a sokszög

A_{2}

-ből való

1 : 2

arányú kicsinyítésére.
Állítjuk, hogy a két kicsinyített sokszög egyikének belső pontja lesz a másik valamelyik csúcsa. Jelöljük az

A_{i}

csúcs képét az

A_{1}

, ill.

A_{2}

középpontú kicsinyítésben

A'_{i}

, ill.

A''_{i}

-vel. Föltehetjük, hogy az

A_{n}

csúcs nincs távolabb az

A_{1} A_{2}

egyenestől, mint az

A_{3}

. Ezért az

A'_{n} A''_{3}

szakasz metszi az

A'_{2} A'_{3}

szakaszt egy

H

pontban. Tekintsük az

A'_{n} A''_{3}

egyenesnek azt a félsíkját, amelyben

A_{1}

is van, hozzászámítva a félsíkhoz az egyenes pontjait is. A sokszög konvexsége következtében ebben a félsíkban benne van az

A''_{n}

, de nincs benne az

A'_{n - 1}

. Az

A'_{3}

pont vagy a félsík határán van, vagy ugyancsak nincs ebben a félsíkban. (Akkor lesz a félsík határán, ha az

A_{n}

és

A_{3}

pontok ugyanolyan távolságra vannak az

A_{1} A_{2}

egyenestől.) Ezért

A''_{n}

A_{1}

csúcsból való kicsinyítéssel kapott sokszögnek belső pontja. Így, ha

A''_{n}

-re tükrözzük

A_{1}

-et, az eredeti sokszög egy belső pontjához jutunk. Mivel

A''_{n}

egy átló felezőpontja, azért igaz a feladat állítása.

II. megoldás. Az I. megoldáshoz hasonlóan feltehető, hogy az

A_{1}

és

A_{2}

csúcsoknál fekvő szögek összege

180^{\circ}

-nál nagyobb. Ismét föltehetjük, hogy

A_{1}

-nek

A_{n}

szomszédja legföljebb akkora távolságban van az

A_{1} A_{2}

egyenestől, mint

A_{3}

. Bizonyítjuk, hogy ekkor

A_{1}

-nek az

A_{n} A_{2}

átló

F

felezőpontjára való

P

tükörképe belső pontja a sokszögnek (2. ábra).

2. ábra

A_{n} A_{1} A_{2} P

négyszög nyilván parallelogramma. Azt kell belátnunk, hogy az

A_{n}

-en át

A_{1} A_{2}

-vel húzott párhuzamos az

A_{2} A_{3}

oldalt egy belső

N

pontjában metszi (vagy éppen

A_{3}

-ban), és hogy

A_{n} N > A_{n} P = A_{1} A_{2}

.
Első föltevésünk (ti. az

A_{1} A_{2}

oldal kiválasztása,

α_{1} + α_{2} > 180^{\circ}

alapján) azt jelenti, hogy az

A_{n} A_{1}

és

A_{3} A_{2}

egyenesek

M

metszéspontjára

A_{n} M > A_{1} M

, és így a párhuzamos szelők tételét felhasználva következik, hogy

\begin{matrix} \frac{A_{n} N}{A_{1} A_{2}} = \frac{A_{n} M}{A_{1} M} > 1, \end{matrix}

ezért

A_{n} P = A_{1} A_{2} < A_{n} N

.
Második föltevésünk szerint

A_{3} M ⩾ N M

, tehát

P

valóban belső pontja az

A_{n} N

szakasznak.