A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I.megoldás. Jelöljük a sokszög csúcsait -nel , az csúcsnál lévő szöget pedig -vel. Válasszuk ki a sokszög két olyan szomszédos szögét, amelyek összege nagyobb -nál. Ilyen két szomszédos szög biztosan van, hiszen ellenkező esetben lenne, amiből , és így . Figyelembe véve, hogy az oldalú sokszög szögeinek összege adódik, amiből . Ez ellentmondás, ezért van két olyan szomszédos szög, amelyek összege -nál nagyobb. Föltehetjük, hogy . Kicsinyítsük a sokszöget arányban az pontból. Ekkor képe önmaga, az és képe az , ill. oldal felezőpontja, minden további csúcs képe pedig az átló felezőpontja.
1. ábra Ezért a kicsinyített sokszöglemez pontjai ‐ az -ből kiinduló két oldal pontjait kivéve ‐ az eredeti -szög belső pontjai. Ugyanezeket mondhatjuk el a sokszög -ből való arányú kicsinyítésére. Állítjuk, hogy a két kicsinyített sokszög egyikének belső pontja lesz a másik valamelyik csúcsa. Jelöljük az csúcs képét az , ill. középpontú kicsinyítésben , ill. -vel. Föltehetjük, hogy az csúcs nincs távolabb az egyenestől, mint az . Ezért az szakasz metszi az szakaszt egy pontban. Tekintsük az egyenesnek azt a félsíkját, amelyben is van, hozzászámítva a félsíkhoz az egyenes pontjait is. A sokszög konvexsége következtében ebben a félsíkban benne van az , de nincs benne az . Az pont vagy a félsík határán van, vagy ugyancsak nincs ebben a félsíkban. (Akkor lesz a félsík határán, ha az és pontok ugyanolyan távolságra vannak az egyenestől.) Ezért az csúcsból való kicsinyítéssel kapott sokszögnek belső pontja. Így, ha -re tükrözzük -et, az eredeti sokszög egy belső pontjához jutunk. Mivel egy átló felezőpontja, azért igaz a feladat állítása. II. megoldás. Az I. megoldáshoz hasonlóan feltehető, hogy az és csúcsoknál fekvő szögek összege -nál nagyobb. Ismét föltehetjük, hogy -nek szomszédja legföljebb akkora távolságban van az egyenestől, mint . Bizonyítjuk, hogy ekkor -nek az átló felezőpontjára való tükörképe belső pontja a sokszögnek (2. ábra).
2. ábra Az négyszög nyilván parallelogramma. Azt kell belátnunk, hogy az -en át -vel húzott párhuzamos az oldalt egy belső pontjában metszi (vagy éppen -ban), és hogy . Első föltevésünk (ti. az oldal kiválasztása, alapján) azt jelenti, hogy az és egyenesek metszéspontjára , és így a párhuzamos szelők tételét felhasználva következik, hogy ezért . Második föltevésünk szerint , tehát valóban belső pontja az szakasznak. |