Feladat: F.2560 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bóna Miklós ,  Cynolter G. ,  Domokos Mátyás ,  Drahos Enikő ,  Drasny G. ,  Egresits S. ,  Fáskerti Zs. ,  Fehér L. ,  Fodróczy T. ,  Istvanovszky M. ,  Janszky J. ,  Kádár Zs. ,  Madas Pál ,  Nagy 124 G. ,  Olasz-Szabó M. ,  Őrsi A. ,  Pálmai L. ,  Rimányi Richárd ,  Róth E. ,  Szabó Gy. ,  Szalay Gy. ,  Szokoly Gy. ,  Vargay P. ,  Várhegyi M. ,  Zaránd G. 
Füzet: 1986/november, 364 - 365. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometrikus egyenletrendszerek, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Gyökös függvények, Indirekt bizonyítási mód, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/január: F.2560

Bizonyítsuk be, hogy minden x számra teljesül az egyenlőtlenség :
cos(2x3-x2-5x-2)+cos(2x3+3x2-3x-2)-(2)-cos[(2x+1)x4-5x2+4]<3.




A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlőtlenség bal oldalán az első két tag, valamint a jobb oldal minden valós x-re értelmezett, viszont a bal oldal harmadik tagja csak akkor, ha

0x4-5x2+4=(x2-4)(x2-1)=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1).(2)
Ez nem teljesül, ha -2<x<-1 vagy 1<x<2, azaz ha 1<|x|<2. A feladat állítása tehát értelmetlen, ha 1<|x|<2. Ha viszont |x|1 vagy |x|2, akkor az egyenlőtlenség már igaz. Ezt fogjuk bizonyítani.
A koszinusz-függvény értékkészlete a [-1,+1] intervallum, tehát a bal oldalon két, 1-nél nem nagyobb szám összegéből egy (-1)-nél nem kisebb számot vonunk le. A bal oldal tehát mindig legföljebb 3, s csak azt kell bizonyítanunk, hogy
cos(2x3-x2-5x+2)=1(3)cos(2x3-3x2-3x-2)=1(4)cos((2x+1)x4-5x2+4)=-1(5)


egyszerre nem állhat fenn. Oldjuk meg először külön-külön e három egyenletet:
 


(3) megoldása  2kπ=2x3-x2-5x+2
(4) megoldása  2lπ=2x3+3x2-3x-2
(5) megoldása  (1+2m)π=(2x+1)(x+2)(x-2)(x-1)(x+1),
 


ahol k, l, m egész számok.
Könnyen észrevehető, hogy (2x3+3x2-3x-2) az x=1 helyen eltűnik, tehát
2x3+3x2-3x-2=(x-1)(2x2+5x+2)=(x-1)(2x+1)(x+2).
Ezek után csak azt kell észrevennünk, hogy hasonlóan
2x3-x2-5x-2=(2x+1)(x-2)(x+1),
tehát (3) megoldása és (4) megoldása jobb oldalának szorzata éppen (5) megoldása jobb oldalának a négyzete. Ha tehát volna olyan k, l és m egész, amelyre (3) megoldása, (4) megoldása és (5) megoldással egyszerre fennállna, akkor ezekre teljesülne, hogy
2kπ2lπ=((2m+1)π)2
azaz 4kl=(2m+1)2. Ámde itt a jobb oldal páratlan, a bal oldal páros, ami ellentmondás. Ez az ellentmondás bizonyítja, hogy (3), (4) és (5) nem oldható meg egyszerre, tehát a feladat egyenlőtlenségének bal oldala (az értelmezési tartományban) soha nem éri el a 3-at.
 

Megjegyzések. A koszinusz-függvény argumentumaiban szereplő kifejezésekből csak azt használtuk ki, hogy kettő szorzata a harmadikkal egyenlő. Így tulajdonképpen azt kellett észrevenni hogy a feladat egyenlőtlensége a
cosα+cosβ-cosγ<3,haγ=±αβ
egyenlőtlenség speciális esete. Ugyanígy bizonyítható, hogy
cosα+cosβ-cosγ>-3,haγ=±αβ,
tehát a feladat egyenlőtlenségének bal oldalán álló kifejezés értékkészlete a (-3,+3) nyílt intervallumba esik. Lényegesen nehezebb már annak igazolása, hogy a teljes (-3,+3) nyílt intervallum az értékkészlet (lásd az 1984. évi OKTV spec. mat. tagozatos verseny III., rendkívüli fordulójának 3. feladatát).