Kezdőlap


Feladat:	F.2560	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bóna Miklós , Cynolter G. , Domokos Mátyás , Drahos Enikő , Drasny G. , Egresits S. , Fáskerti Zs. , Fehér L. , Fodróczy T. , Istvanovszky M. , Janszky J. , Kádár Zs. , Madas Pál , Nagy 124 G. , Olasz-Szabó M. , Őrsi A. , Pálmai L. , Rimányi Richárd , Róth E. , Szabó Gy. , Szalay Gy. , Szokoly Gy. , Vargay P. , Várhegyi M. , Zaránd G.
Füzet:	1986/november, 364 - 365. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletrendszerek, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Gyökös függvények, Indirekt bizonyítási mód, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/január: F.2560

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlőtlenség bal oldalán az első két tag, valamint a jobb oldal minden valós $x$ -re értelmezett, viszont a bal oldal harmadik tagja csak akkor, ha

\begin{matrix} 0 \leq x^{4} - 5 x^{2} + 4 = (x^{2} - 4) (x^{2} - 1) = (x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 1) . \end{matrix}

(2)

Ez nem teljesül, ha

- 2 < x < - 1

vagy

1 < x < 2

, azaz ha

1 < | x | < 2

. A feladat állítása tehát értelmetlen, ha

1 < | x | < 2

. Ha viszont

| x | \leq 1

vagy

| x | \geq 2

, akkor az egyenlőtlenség már igaz. Ezt fogjuk bizonyítani.
A koszinusz-függvény értékkészlete a

[- 1, + 1]

intervallum, tehát a bal oldalon két, 1-nél nem nagyobb szám összegéből egy

(- 1)

-nél nem kisebb számot vonunk le. A bal oldal tehát mindig legföljebb 3, s csak azt kell bizonyítanunk, hogy

\begin{matrix} cos (2 x^{3} - x^{2} - 5 x + 2) = 1 & (3) \\ cos (2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x - 2) = 1 & (4) \\ cos ((2 x + 1) \cdot \sqrt[]{x^{4} - 5 x^{2} + 4}) = - 1 & (5) \end{matrix}

egyszerre nem állhat fenn. Oldjuk meg először külön-külön e három egyenletet:

(3) megoldása

2 k π = 2 x^{3} - x^{2} - 5 x + 2

(4) megoldása

2 l π = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 2

(5) megoldása

(1 + 2 m) π = (2 x + 1) \sqrt[]{(x + 2) (x - 2) (x - 1) (x + 1)}

ahol

k

l

m

egész számok.
Könnyen észrevehető, hogy

(2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 2)

x = 1

helyen eltűnik, tehát

\begin{matrix} 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 2 = (x - 1) (2 x^{2} + 5 x + 2) = (x - 1) (2 x + 1) (x + 2) . \end{matrix}

Ezek után csak azt kell észrevennünk, hogy hasonlóan

\begin{matrix} 2 x^{3} - x^{2} - 5 x - 2 = (2 x + 1) (x - 2) (x + 1), \end{matrix}

tehát (3) megoldása és (4) megoldása jobb oldalának szorzata éppen (5) megoldása jobb oldalának a négyzete. Ha tehát volna olyan

k

l

és

m

egész, amelyre (3) megoldása, (4) megoldása és (5) megoldással egyszerre fennállna, akkor ezekre teljesülne, hogy

\begin{matrix} 2 k π \cdot 2 l π = {((2 m + 1) π)}^{2} \end{matrix}

azaz

4 k l = {(2 m + 1)}^{2}

. Ámde itt a jobb oldal páratlan, a bal oldal páros, ami ellentmondás. Ez az ellentmondás bizonyítja, hogy (3), (4) és (5) nem oldható meg egyszerre, tehát a feladat egyenlőtlenségének bal oldala (az értelmezési tartományban) soha nem éri el a 3-at.

Megjegyzések. A koszinusz-függvény argumentumaiban szereplő kifejezésekből csak azt használtuk ki, hogy kettő szorzata a harmadikkal egyenlő. Így tulajdonképpen azt kellett észrevenni hogy a feladat egyenlőtlensége a

\begin{matrix} cos α + cos β - cos γ < 3, ha γ = \pm \sqrt[]{α β} \end{matrix}

egyenlőtlenség speciális esete. Ugyanígy bizonyítható, hogy

\begin{matrix} cos α + cos β - cos γ > - 3, ha γ = \pm \sqrt[]{α β}, \end{matrix}

tehát a feladat egyenlőtlenségének bal oldalán álló kifejezés értékkészlete a

(- 3, + 3)

nyílt intervallumba esik. Lényegesen nehezebb már annak igazolása, hogy a teljes

(- 3, + 3)

nyílt intervallum az értékkészlet (lásd az 1984. évi OKTV spec. mat. tagozatos verseny III., rendkívüli fordulójának 3. feladatát).