Feladat: F.2534 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bán Rita ,  Beke T. ,  Bereczky Á. ,  Blahota I. ,  Bodor Cs. ,  Bóna M. ,  Boros Z. ,  Bortel L. ,  Csermely Ágnes ,  Csizmadia Gy. ,  Cynolter G. ,  Deák CS. ,  Dinnyés Enikő ,  Domokos M. ,  Edvi T. ,  Fáskerti Zs. ,  Fülöp T. ,  Gróf Andrea ,  Hajdú G. ,  Hetyei Judit ,  Horváth 572 L. ,  Íjjas Cs. ,  Kádár 415 Zs. ,  Kintli L. ,  Kiss 967 Rita ,  Limbek Cs. ,  Lipták 182 L. ,  Majzik I. ,  Makay G. ,  Makay Géza ,  Márovics F. ,  Nemes I. ,  Olasz-Szabó M. ,  Papp 710 Zs. ,  Pfeil T. ,  Ribényi Á. ,  Varga 135 L. ,  Vasy A. 
Füzet: 1986/január, 7 - 8. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nevezetes azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Trigonometriai azonosságok, Kör egyenlete, Hiperbola egyenlete, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/május: F.2534

Az origó körüli, alkalmasan választott R sugarú kör, valamint az xy=1 és az xy=-1 egyenletű görbék páronként vett közös pontjai egy szabályos sokszög összes csúcsait adják. Bizonyítsuk be, hogy ekkor a sokszög területe R4.

Az xy=1 és xy=-1 egyenletű vonalak hiperbolák, közös aszimptotáik a koordináta-tengelyek. Másrészt szimmetriatengelyeik, az y=x és y=-x egyenesek is közösek, csak valós (fókuszos), ill. képzetes jellegük cserélődik fel. Ezekből következik, hogy a két görbe teljes képe megkapható az xy=1 vonalnak az I. síknegyedbe eső (x>0,y>0) pontjaiból (ívéből) a koordinátatengelyeken való tükrözéssel.
Ugyanez érvényes az origó körüli körökre is, ennélfogva elég vizsgálnunk az I. negyedben a hiperbolaív és negyedkör közös pontjait. Közös pontjaikra az
xy=1,x2+y2=R2,x>0,y>0
rendszerből
x2+1x2=R2,x4-R2x2+1=0,x2=12(R2±R4-4).



Csak 1 közös pont van, ha a diszkrimináns eltűnik : R4=4, és ekkor x=y=1, a vizsgálandó szabályos sokszög négyzet, oldala 2 egységnyi, területe 4, a mértékszám valóban egyenlő R4-nel.
 
 

Ha két közös pont van, A és B, akkor a sokszög csúcsainak száma 8. Maga a sokszög akkor lesz szabályos, ha minden oldal látószöge a középpontból 45, tehát ha pl. OA 22,5-os szöget zár be az x tengellyel:
yx=tg  452=sin451+cos45=...=2-1.  
Összeszorozva ezt az xy=1 egyenlettel: y2=2-1, majd meg elosztva vele: x2=2+1, és ezekből R2=22,R4=8.
Ekkor x=2+1 megadja a szabályos nyolcszög beírt körének ϱ sugarát, amivel
t=8ϱ22tg  1808=4(2+1)(2-1)=8=R4,  
ebben az esetben is teljesül a feladat állítása.
 

 Makay Géza (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., III. o. t.)
 

Megjegyzés. Szemet szúr az eredményekben a 4-es kitevő az idom lineáris mérete, a körülírt kör sugara mellett. Mintha 4-dimenziós mennyiség lenne a terület!
Alapja: egy szabályos n-oldalú sokszögben a t/R2=k hányados értéke n=4 esetére k=2, n=8 esetére pedig k=22. Az idomok eredetéből mármost az adódik, hogy a sugár négyzete mindkettőben éppen a fenti k-val egyenlő.
Köszönjük a feladat kitűzőjének ezt az érdekes észrevételt!