Kezdőlap


Feladat:	F.2534	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bán Rita , Beke T. , Bereczky Á. , Blahota I. , Bodor Cs. , Bóna M. , Boros Z. , Bortel L. , Csermely Ágnes , Csizmadia Gy. , Cynolter G. , Deák CS. , Dinnyés Enikő , Domokos M. , Edvi T. , Fáskerti Zs. , Fülöp T. , Gróf Andrea , Hajdú G. , Hetyei Judit , Horváth 572 L. , Íjjas Cs. , Kádár 415 Zs. , Kintli L. , Kiss 967 Rita , Limbek Cs. , Lipták 182 L. , Majzik I. , Makay Géza , Márovics F. , Nemes I. , Olasz-Szabó M. , Papp 710 Zs. , Pfeil T. , Ribényi Á. , Varga 135 L. , Vasy A.
Füzet:	1986/január, 7 - 8. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Trigonometriai azonosságok, Kör egyenlete, Hiperbola egyenlete, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/május: F.2534

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $x y = 1$ és $x y = - 1$ egyenletű vonalak hiperbolák, közös aszimptotáik a koordináta-tengelyek. Másrészt szimmetriatengelyeik, az $y = x$ és $y = - x$ egyenesek is közösek, csak valós (fókuszos), ill. képzetes jellegük cserélődik fel. Ezekből következik, hogy a két görbe teljes képe megkapható az $x y = 1$ vonalnak az I. síknegyedbe eső ( $x > 0, y > 0$ ) pontjaiból (ívéből) a koordinátatengelyeken való tükrözéssel.
Ugyanez érvényes az origó körüli körökre is, ennélfogva elég vizsgálnunk az I. negyedben a hiperbolaív és negyedkör közös pontjait. Közös pontjaikra az

\begin{matrix} x y = 1, x^{2} + y^{2} = R^{2}, x > 0, y > 0 \end{matrix}

rendszerből

\begin{matrix} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = R^{2}, x^{4} - R^{2} x^{2} + 1 = 0, \\ x^{2} = \frac{1}{2} (R^{2} \pm \sqrt[]{R^{4} - 4}) . \end{matrix}

Csak 1 közös pont van, ha a diszkrimináns eltűnik :

R^{4} = 4

, és ekkor

x = y = 1

, a vizsgálandó szabályos sokszög négyzet, oldala

2

egységnyi, területe

4

, a mértékszám valóban egyenlő

R^{4}

-nel.

Ha két közös pont van,

A

és

B

, akkor a sokszög csúcsainak száma

8

. Maga a sokszög akkor lesz szabályos, ha minden oldal látószöge a középpontból

45^{\circ}

, tehát ha pl.

O A

22, 5^{\circ}

-os szöget zár be az

x

tengellyel:

\begin{matrix} \frac{y}{x} = tg\frac{45^{\circ}}{2}=\frac{sin 45^{\circ}}{1 + cos 45^{\circ}}=...=\sqrt[]{2}-1. \end{matrix}

Összeszorozva ezt az

x y = 1

egyenlettel:

y^{2} = \sqrt[]{2} - 1

, majd meg elosztva vele:

x^{2} = \sqrt[]{2} + 1

, és ezekből

R^{2} = 2 \sqrt[]{2}

R^{4} = 8

.
Ekkor

x = \sqrt[]{\sqrt[]{2} + 1}

megadja a szabályos nyolcszög beírt körének

ϱ

sugarát, amivel

\begin{matrix} t = 8 \cdot \frac{ϱ^{2}}{2} tg\frac{180^{\circ}}{8}=4(\sqrt[]{2}+1)(\sqrt[]{2}-1)=8=R^{4}, \end{matrix}

ebben az esetben is teljesül a feladat állítása.

Megjegyzés. Szemet szúr az eredményekben a

4

-es kitevő az idom lineáris mérete, a körülírt kör sugara mellett. Mintha

4

-dimenziós mennyiség lenne a terület!
Alapja: egy szabályos

n

-oldalú sokszögben a

t / R^{2} = k

hányados értéke

n = 4

esetére

k = 2

n = 8

esetére pedig

k = 2 \sqrt[]{2}

. Az idomok eredetéből mármost az adódik, hogy a sugár négyzete mindkettőben éppen a fenti

k

-val egyenlő.
Köszönjük a feladat kitűzőjének ezt az érdekes észrevételt!