Feladat: F.2511 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Csott R. ,  Csott Róbert ,  Deák CS. ,  Edvi T. ,  Fülöp T. ,  Grallert Ágnes ,  Íjjas Cs. ,  Kopanecz G. ,  Limbek Cs. ,  Mihelcsik Éva ,  Németh-Buhin Á. ,  Pintér M. ,  Regős G. ,  Ribényi Á. ,  Zaránd G. 
Füzet: 1985/december, 445 - 446. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkra vonatkozó tükrözés, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/január: F.2511

Tükrözzük a tér egy pontját egy adott tetraéder lapsíkjaira és tekintsük a négy tükörképpel meghatározott gömböt. Legyen ennek középpontja P és sugara r. Bizonyítsuk be, hogy ha P-re végezzük el az előbbi lépéseket, az új gömb sugara ugyancsak r lesz.

Jelölje Q a térnek azt a pontját, amelyet a tetraéder lapsíkjaira tükrözünk. Lássuk el a tetraéder lapsíkjait sorszámmal, és Qi jelentse a Q-nak az i-edik lap síkjára vonatkozó tükörképét (i=1,2,3,4). Ha a tükörképek mind különbözők és nem esnek egy síkba, akkor valóban meghatároznak egy gömböt. (A feladat szövegét úgy értelmezzük, hogy mindez teljesül.)
Ez más szóval azt jelenti, hogy Q nem illeszkedik egyidejűleg több lapsíkra, továbbá nincs rajta a tetraéder körülírt gömbjén sem. Ha ugyanis a pont a tetraéder valamelyik élegyenesére illeszkedik, akkor a különböző tükörképek száma 4-nél kevesebb, másfelől egy ismert tétel szerint egy pontot egy tetraéder lapsíkjaira tükrözve a tükörképek egy síkba esnek, ha az eredeti pont rajta van a tetraéder körülírt gömbjén. Minden más esetben 4 különböző tükörképet kapunk, amelyek nem esnek egy síkba. Mivel az általunk meghatározott gömb középpontja P, sugara pedig r, azért PQi=r(i=1,2,3,4)
Ha most a P pontot tükrözzük a tetraéder lapsíkjaira, akkor a Pi pontokat kapjuk. Mivel Pi és Qi az ugyanarra a lapsíkra vonatkozó tükrözéssel keletkeznek P-ből, illetve Q-ból, így a PiQ szakasz a PQi szakasznak az i-edik lapsíkra vonatkozó tükörképe. Ez azt jelenti, hogy
PiQ=PQi(i=1,2,3,4).

A PQi szakaszok hossza az előzőek szerint r-rel egyenlő, ezért a Pi pontok is egy r sugarú gömbön vannak rajta, amelynek középpontja Q.
 

 Csott Róbert (Budapest, I. István Gimn., II. o. t.)
 
Megjegyzés. A feladat kitűzésekor szándékunk szerint ennek bizonyítását kértük. A dolgozatokból az derült ki, hogy a beküldők így is fogták fel a feladatot. Látnunk kell azonban, hogy nyitva maradt az a kérdés, hogy P tükörképei egyáltalán meghatároznak-e gömböt, ahogyan az "új gömb'' kifejezés sugallja. P tükörképei között lehetnek ugyanis egybeesők, de e nélkül is eshetnek egy síkba. Előfordulhat tehát, hogy nincs "új gömb'', hanem a tükörképekre illeszkedő sík (síkok), valamint gömbök végtelen sokasága jön létre, amelyek között található r sugarú is.
Nem volna érdektelen annak elemzése, hogy ez pontosan mikor következik be. Ezt most nem végezzük el, csupán egy fontos speciális esetet említünk, amely szemlélteti az itt leírtakat.
Q pontnak válasszuk a tetraéder egyik lapjának belső pontját. A Qi pontok ekkor mind különbözők és nincsenek egy síkban. Az általuk meghatározott gömb P középpontja a tetraédernek éppen a Q pontot tartalmazó lapjával szemközti csúcsa. Ily módon a P tükörképei közül három egybeesik, azaz mindössze két különböző Pi pontunk van.