Jelölje $Q$ a térnek azt a pontját, amelyet a tetraéder lapsíkjaira tükrözünk. Lássuk el a tetraéder lapsíkjait sorszámmal, és $Q_i$ jelentse a $Q$-nak az $i$-edik lap síkjára vonatkozó tükörképét $(i=1$, $2$, $3$, $4)\mathrm{.}$ Ha a tükörképek mind különbözők és nem esnek egy síkba, akkor valóban meghatároznak egy gömböt. (A feladat szövegét úgy értelmezzük, hogy mindez teljesül.)
Ez más szóval azt jelenti, hogy $Q$ nem illeszkedik egyidejűleg több lapsíkra, továbbá nincs rajta a tetraéder körülírt gömbjén sem. Ha ugyanis a pont a tetraéder valamelyik élegyenesére illeszkedik, akkor a különböző tükörképek száma $4$-nél kevesebb, másfelől egy ismert tétel szerint egy pontot egy tetraéder lapsíkjaira tükrözve a tükörképek egy síkba esnek, ha az eredeti pont rajta van a tetraéder körülírt gömbjén. Minden más esetben $4$ különböző tükörképet kapunk, amelyek nem esnek egy síkba. Mivel az általunk meghatározott gömb középpontja $P\mathrm{,}$ sugara pedig $r$, azért $P{Q}_i=r$ $(i=1$, $2$, $3$, $4$).
Ha most a P pontot tükrözzük a tetraéder lapsíkjaira, akkor a $P_i$ pontokat kapjuk. Mivel $P_i$ és $Q_i$ az ugyanarra a lapsíkra vonatkozó tükrözéssel keletkeznek $P$-ből, illetve $Q$-ból, így a $P_{i}Q$ szakasz a $P{Q}_i$ szakasznak az $i$-edik lapsíkra vonatkozó tükörképe. Ez azt jelenti, hogy