Feladat: F.2468 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Alexy M. ,  Argay Gy. ,  Badics T. ,  Bán Rita ,  Bujdosó L. ,  Csermely Ágnes ,  Fortenbacher T. ,  Fülöp T. ,  Hajdú S. Z. ,  Hegedűs P. ,  Hraskó A. ,  Íjjas Cs. ,  Ispány Márton ,  Kaiser A. ,  Karácsony P. ,  Kerner Anna ,  Kisdi B. ,  Komorowitz J. ,  Kopanecz G. ,  Kós G. ,  Kovács 111 S. ,  Kruzslicz F. ,  Ladányi L. ,  Limbek Cs. ,  Magyar Á. ,  Megyesi G. ,  Michelcsik Éva ,  Németh Buhin Á. ,  Olasz Szabó M. ,  Paál Beatrix ,  Pfeil T. ,  Pintér A. ,  Prokaj V. ,  Ribényi Á. ,  Sárközy G. ,  Simon Gy. ,  Simon P. ,  Somogyi Á. ,  Szabó Szabolcs ,  Szalay Gy. ,  Szente A. ,  Uhlmann E. ,  Varga K. ,  Varga L. 
Füzet: 1985/március, 104 - 106. oldal  PDF file
Témakör(ök): Permutációk, Egységgyökök, Komplex számok, Polinomok szorzattá alakítása, Racionális együtthatós polinomok, Egyéb sokszögek geometriája, Vektorok lineáris kombinációi, Szabályos sokszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/március: F.2468

Keressünk példát a következő állítás szemléltetésére n=10 esetében:
 
Akkor és csak akkor létezik olyan, konvex n-szög, melynek szögei egyenlők, oldalai pedig valamilyen sorrendben 1,2,3,...,n egységnyi hosszúak, ha n nem egy prímszám hatványa.*
*Lásd a 2137-es gyakorlat megoldásának megjegyzését ez évi februári számunkban, a 71. oldalon.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ilyen n-szög létezésének szükséges és elégséges feltétele, hogy az 1, 2, 3, ..., n hosszúságú, megfelelő irányú vektorok összege a nullvektor legyen. Megfelelő irányon azt értjük, hogy bármely két egymás utáni oldalvektor iránykülönbsége a forgási irányt is beleértve 360/n, ti. amennyi az egyenlő szögű konvex n-szög külső szöge. Jelöljük i=1, 2, ..., n-re az i-edik oldal hosszát ai-vel, az oldallal egyező irányú egységvektort xi-vel. Az xi vektorokat közös kezdőpontból felmérve azok végpontjai szabályos n-szöget határoznak meg.
Feladatunk tehát az 1, 2, ..., n számoknak olyan a1, ..., an permutációját meghatározni, amire az

a1x1+a2x2+...+anxn(1)
vektorösszeg éppen a nullvektor. Ha sikerül ilyen permutációt találnunk, akkor az a1x1, a2x2 stb. vektorokat egymás után fölmérve, egy záródó konvex n-szöget kapunk, amelynek szögei egyenlők, oldalai pedig valamilyen sorrendben 1, 2, 3, ..., n hosszúságúak. Ha pedig nincs ilyen permutáció, akkor a megfelelő sokszög sem létezik.
 
 
1. ábra
 

Térjünk most rá az n=10 esetre. A közös kezdőpontból induló x1, ..., x10 vektorokat az 1. ábra mutatja. Az (1) vektorösszeg pontosan akkor 0, ha két, nem párhuzamos egyenesre eső vetülete is 0. Az egyik egyenes legyen az x10 (és x5) vektorokra merőleges egyenes. Az aixi ilyen irányú komponense aisin(i36). A sini36 tényező abszolút értéke ‐ azon fölül, hogy i=5 és i=10 esetén 0 ‐ kétféle értéket vehet föl az összegezés során. Ennek alapján a tagokat két zárójelbe gyűjtjük:

(a1+a4-a6-a9)sin36+(a2+a3-a7-a8)sin72=0.(1)

Feladatunkban a zárójelek értéke egész szám, másrészt
sin72sin36=2cos36=5+12
irracionális szám. Emiatt az egyenlőség csak úgy teljesülhet, ha a zárójelek értéke külön-külön 0. Ezt mindjárt így írjuk:
a1-a6=a9-a4(2)a3-a8=a7-a2,(3)
továbbá (2) és (3) teljesülése esetén az (1) összegvektor x10-re merőleges vetülete 0.
Megismételve az eljárást az x2 és x7 vektorokra merőleges egyenesre is, adódik, hogy (1)-nek erre eső vetülete akkor és csak akkor, 0, ha
a3-a8=a1-a6(4)
valamint
a5-a10=a9-a4(5)
egyaránt fennáll.
Észrevesszük, hogy (2) két oldalának közös értékét d-vel jelölve (2)‐(5) éppen azt mondja ki, hogy a keresett tízszög szemközti, párhuzamos oldalpárjai hosszának különbsége ‐ alkalmas irányban véve ‐ egyenlő. És úgy lesznek előjelre nézve is egyenlők, ha pl. mindig a páratlan indexű oldalból vonjuk ki a szemben fekvő, tehát páros indexű oldal hosszát. S mivel ilyen esetben (2)‐(5) automatikusan teljesül is, a tízszög záródni fog.
Már ennyi elég ahhoz, hogy példát adhassunk a kívánt tízszögre. d=-5 esetén az (ai,ai+5) szemben fekvő oldalpár számára i=1, 2, 3, 4, 5 mellett vehető a következő oldalhossz-párok tetszőleges permutációja:
ai17395ai+5628410
Másik példa az oldalhosszak párba állítására d=-1:
ai14589ai+5236710

Befejezésül belátjuk, hogy |d| az előírt oldalhosszak mellett csak 1 vagy 5 lehet. Jelöljük a páratlan indexű oldalak összegét U-val, a párosakét P-vel, ekkor a föntiek szerint U-P=5d, másrészt U+P=55, amiből
U5=11+d2,P5=11-d2.
Eszerint d nem lehet páros.
Nyilván nem lehet d9. De még a d=7 különbséget is csak három oldalhossz párból lehet előállítani:
7=10-3=9-2=8-1.
Ha pedig d=3-at követelünk meg, az 5 (és 6) számtól föl- és lefelé 1‐1 szám van 3 egységnyi távolságban: a 2 és a 8, és egyik sem alkothat 3 értékű különbséget máshogy, mint az 5-össel.