Feladat: F.2427 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bán Rita ,  Birkás Gy. ,  Böröczky L. ,  Csillag P. ,  Danyi P. ,  Erdős L. ,  Hetyei G. ,  Hraskó A. ,  Kerner Anna ,  Megyesi G. ,  Pelles Tamás ,  Sáhi A. ,  Scharle A. ,  Szabó T. ,  Szirmai J. ,  Szöllősi Gabriella ,  Törőcsik J. ,  Vindics I. 
Füzet: 1983/december, 204 - 205. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszög alapú hasábok, Súlypont, Térgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/május: F.2427

Egy ABC alapú háromoldalú hasáb A-ból, B-ből és C-ből induló oldaléleit egy sík rendre az A1,B1,C1 pontban metszi. Jelöljük D-vel a következő 3 sík metszéspontját: ABC1,BCA1,CAB1, másrészt E-vel az A1B1C,B1C1A,C1A1B síkok metszéspontját. Mutassuk meg, hogy a DE egyenes párhuzamos a hasáb éleivel.
Átmegy-e ez az egyenes az ABC és az A1B1C1 háromszög súlypontján?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. A feladat szövege szerint az indexezett pontok az ABC síknak az egyik oldalán vannak. Általában azzal a föltevéssel kell kezdenünk a bizonyítást, hogy a 6 pont különböző.

 
 

Jelöljük M-mel az ABB1A1 trapéz átlóinak metszéspontját, ez az AA1 és BB1 oldalélek közötti pont. Ekkor D ‐ mint a CAB1 és CBA1 síkok közös pontja ‐ rajta van az MC egyenesen (a hasáb belsejében), továbbá E ‐ mint a C1AB1 és C1BA1 síkok közös pontja ‐ rajta van az MC1 egyenesen. Ennélfogva D is, E is benne van az MCC1 síkban. Ezt a megállapítást ebben az alakban fogjuk felhasználni: E benne van a DCC1 síkban.
Írjunk a fönti meggondolásban minden A betű helyére B-t és minden B,C helyére C-t, ill. A-t, M helyére N-et, de hagyjuk a helyükön az indexeket. Így azt kapjuk, hogy E a DAA1 síkban is benne van.
Az egymástól különböző DCC1 és DAA1 síkok tartalmazzák a CC1, ill. AA1 egymással párhuzamos egyeneseket (oldaléleket), ezért metszésvonaluk, a DE egyenes párhuzamos az oldalélekkel. Ezt kellett bizonyítanunk.
2. A DE egyenes általában nem megy át a kérdésbeli súlypontokon. Messe az M-en átmenő, AA1-gyel párhuzamos egyenes AB-t P-ben, legyen másrészt AB felezőpontja F. Ha P és F különböző pontok, akkor F nincs benne az MCC1=PCC1 síkban, tehát nincs benne az ABC háromszög súlypontja sem. A DE egyenesnek nincs pontja az MCC1 síkon kívül, és így nem mehet át a súlyponton. P nyilván akkor és csak akkor esik egybe F-fel, ha AA1=BB1.
Igenlő válaszhoz szükséges a P és F egyezése, de nem elegendő, hasonló föltételnek kell teljesülnie a további két oldallapon is. Ha AA1=BB1=CC1, akkor a DE egyenes átmegy a hasáb mindkét véglapjának súlypontján.
3. Ha valamelyik oldalél két kijelölt pontja egybeesik, akkor a DE egyenes máris határozatlan, egybeesik D és E. Ha pedig két oldalélen is egybeesik az indexezett pont az indextelennel, akkor vizsgálatunk tárgytalan, D és E nincsenek meghatározva.
 
 Pelles Tamás (Győr, Czuczor G. Bencés Gimn., III. o. t.)