Feladat: F.2424 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Alexy N. ,  Bán Rita ,  Böröczky L. ,  Erdős 228 L. ,  Hajós Zsuzsanna ,  Hetyei G. ,  Horváth 714 Z. ,  Hraskó A. ,  Ispány Márton ,  Katona Gyula ,  Kerner Anna ,  Kruzslicz F. ,  Megyesi G. ,  Melis Z. ,  Mócsy M. ,  Patai J. ,  Prokaj Vilmos ,  Ribényi Á. ,  S. Fülöp T. ,  Szederkényi Edit ,  Törőcsik J. 
Füzet: 1983/december, 202. oldal  PDF file
Témakör(ök): Racionális számok és tulajdonságaik, Indirekt bizonyítási mód, Skatulyaelv, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/május: F.2424

a1,a2,...,a16 száznál nem nagyobb, különböző pozitív egészek. Bizonyítsuk be, hogy van köztük négy különböző, amelyekre ai+aj=ak+al!

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Olyan különböző ai>ak,al>aj számokat kell találnunk, melyekre a ai-ak=al-aj. Képezzük az a1,a2,...,a16 számok közötti összes pozitív különbséget. Ezekből 15162=120 van, mindegyik kisebb; mint 100, tehát vannak egyenlő különbségek.
Ha van három egyenlő különbség, akkor kiválasztható közülük kettő, amelyekben különböző számok különbségét képeztük. Legyen ugyanis ai-aj=ak-al=am-an,ai<ak<am. Az első és második pár csak akkor nem jó, ha ai=al, az első és harmadik pedig akkor, ha ai=an. Ez a két eset egyszerre nem teljesülhet, így a kívánt kiválasztás mindig lehetséges.
Ha nincs három egymással egyenlő különbség, akkor van legalább 21, amely kétszer lép fel. Tegyük fel indirekte, hogy a különbségpárok között nincs olyan, melyben négy különböző szám szerepelne. Ekkor mind a 21 pár ai-am,am-aj alakú volna. Mivel am legfeljebb 16 különböző értéket vehet fel (valójában 14-et, mert am a legkisebb és a legnagyobb nem lehet), volna olyan am amely két különbségpárban is szerepel: ai>ak-ra ai-am=am-aj és ak-am=am-al. Ezekből ai-ak=al-aj a különböző ai,aj,akal számokra, ami ellentmond az indirekt feltevéseknek. Így a 16 szám közül minden esetben kiválasztható négy olyan különböző, amelyre ai+aj=ak+al.

 

 Katona Gyula (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)
 dolgozata alapján