Olyan különböző $a_i>a_k\mathrm{,}{a}_l>a_j$ számokat kell találnunk, melyekre a $a_i-a_k=a_l-a_j\mathrm{.}$ Képezzük az $a_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{a}_{16}$ számok közötti összes pozitív különbséget. Ezekből $\frac{15\cdot 16}{2}=120$ van, mindegyik kisebb; mint $\mathrm{100,}$ tehát vannak egyenlő különbségek.
Ha van három egyenlő különbség, akkor kiválasztható közülük kettő, amelyekben különböző számok különbségét képeztük. Legyen ugyanis $a_i-a_j=a_k-a_l=a_m-a_n\mathrm{,}{a}_i<a_k<a_m\mathrm{.}$ Az első és második pár csak akkor nem jó, ha $a_i=a_l\mathrm{,}$ az első és harmadik pedig akkor, ha $a_i=a_n\mathrm{.}$ Ez a két eset egyszerre nem teljesülhet, így a kívánt kiválasztás mindig lehetséges.
Ha nincs három egymással egyenlő különbség, akkor van legalább $21$, amely kétszer lép fel. Tegyük fel indirekte, hogy a különbségpárok között nincs olyan, melyben négy különböző szám szerepelne. Ekkor mind a $21$ pár $a_i-a_m\mathrm{,}{a}_m-a_j$ alakú volna. Mivel $a_m$ legfeljebb $16$ különböző értéket vehet fel (valójában $14$-et, mert $a_m$ a legkisebb és a legnagyobb nem lehet), volna olyan $a_m$ amely két különbségpárban is szerepel: $a_i>a_k$-ra $a_i-a_m=a_m-a_j$ és $a_k-a_m=a_m-a_l\mathrm{.}$ Ezekből $a_i-a_k=a_l-a_j$ a különböző $a_i\mathrm{,}{a}_j\mathrm{,}{a}_k{a}_l$ számokra, ami ellentmond az indirekt feltevéseknek. Így a $16$ szám közül minden esetben kiválasztható négy olyan különböző, amelyre $a_i+a_j=a_k+a_l\mathrm{.}$