Feladat: F.2406 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Alexy N. ,  Ambrus L. ,  Bán Rita ,  Blum G. ,  Böröczky L. ,  Danyi P. ,  Erdős 228 L. ,  Finta P. E. ,  Hegedüs P. ,  Hetyei G. ,  Horváth A. ,  Hraskó A. ,  Katona Gy. ,  Kerner Anna ,  Kós G. ,  Megyesi G. ,  Melis Z. ,  Mócsy M. ,  Nyikes P. ,  Pásztor L. ,  Peták T. ,  Réz A. ,  S. Fülöp T. ,  Sárközy G. ,  Scharle A. ,  Simon P. ,  Stipsicz A. ,  Szabó 982 T. ,  Szabó Cs. ,  Szapudi I. ,  Szederkényi Edit ,  Tóth G. ,  Törőcsik J. ,  Varga K. ,  Vindics I. ,  Virányi L. 
Füzet: 1983/október, 57. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/február: F.2406

Bizonyítsuk be, hogy ha A+B+C=180, akkor
cos2(A-B)+cos2(B-C)+cos2(C-A)24cosAcosBcosC.(1)



A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

cos2(A-B)+cos2(B-C)+cos2(C-A)24cosAcosBcosC.(1)



Megoldás. Elég belátni, hogy
cos2(A-B)8cosAcosBcosC,(2)
hiszen ebből A, B, C szimmetrikus szerepe alapján a betűk ciklikus permutációjával
cos2(B-C)8cosAcosBcosCcos2(C-A)8cosAcosBcosC


is következik, és ezek összege éppen a kívánt állítást adja.
 

(2) bizonyításához a jobb oldalon helyettesítjük a feladat feltételéből adódó cosC=-cos(A+B)-t, így a (2)-vel ekvivalens
cos2(A-B)-8cosAcosBcos(A+B)
egyenlőtlenségre jutunk. A cos(A+B), valamint cos(A-B) felbontásával, a négyzetre emelés és a lehetséges összevonások elvégzésével egyenlőtlenségünk
9cos2Acos2B-6cosAcosBsinAsinB+sin2B0
alakra hozható. Ez pedig A és B tetszőleges értékénél teljesül, mert a bal oldal (3cosAcosB-sinAsinB) négyzete.
 

 Bán Rita (Szeged, Radnóti M. Gimn., II. o. t.)