Feladat:	F.2406	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Alexy N. ,  Ambrus L. ,  Bán Rita ,  Blum G. ,  Böröczky L. ,  Danyi P. ,  Erdős 228 L. ,  Finta P. E. ,  Hegedüs P. ,  Hetyei G. ,  Horváth A. ,  Hraskó A. ,  Katona Gy. ,  Kerner Anna ,  Kós G. ,  Megyesi G. ,  Melis Z. ,  Mócsy M. ,  Nyikes P. ,  Pásztor L. ,  Peták T. ,  Réz A. ,  S. Fülöp T. ,  Sárközy G. ,  Scharle A. ,  Simon P. ,  Stipsicz A. ,  Szabó 982 T. ,  Szabó Cs. ,  Szapudi I. ,  Szederkényi Edit ,  Tóth G. ,  Törőcsik J. ,  Varga K. ,  Vindics I. ,  Virányi L.
Füzet:	1983/október, 57. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/február: F.2406

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle co{s}^2\left(A-B\right)+co{s}^2\left(B-C\right)+co{s}^2\left(C-A\right)\geqq 24cosAcosBcosC\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>1</mn>)}\end{array}}$ Megoldás. Elég belátni, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}{}^2\left(A-B\right)\ge 8\text{cos}A\text{cos}B\text{cos}C\mathrm{,}}\end{array}$ (2) hiszen ebből $A$, $B$, $C$ szimmetrikus szerepe alapján a betűk ciklikus permutációjával ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \text{cos}{}^2\left(B-C\right)\ge 8\text{cos}A\text{cos}B\text{cos}C}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{cos}{}^2\left(C-A\right)\ge 8\text{cos}A\text{cos}B\text{cos}C}\hfill \end{array}}$ is következik, és ezek összege éppen a kívánt állítást adja.   (2) bizonyításához a jobb oldalon helyettesítjük a feladat feltételéből adódó $\text{cos}C=-\text{cos}\left(A+B\right)$-t, így a (2)-vel ekvivalens $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}{}^2\left(A-B\right)\ge -8\text{cos}A\text{cos}B\text{cos}\left(A+B\right)}\end{array}$ egyenlőtlenségre jutunk. A $\text{cos}\left(A+B\right)$, valamint $\text{cos}\left(A-B\right)$ felbontásával, a négyzetre emelés és a lehetséges összevonások elvégzésével egyenlőtlenségünk $\begin{array}{c}{\displaystyle 9\text{cos}{}^{2}A\text{cos}{}^{2}B-6\text{cos}A\text{cos}B\text{sin}A\text{sin}B+\text{sin}{}^{2}B\ge 0}\end{array}$ alakra hozható. Ez pedig $A$ és $B$ tetszőleges értékénél teljesül, mert a bal oldal ($3\text{cos}A\text{cos}B-\text{sin}A\text{sin}B$) négyzete.    Bán Rita (Szeged, Radnóti M. Gimn., II. o. t.)