Feladat: F.2386 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Antall P. ,  Beke S. ,  Birkás Gy. ,  Bujdosó 419 L. ,  Böröczky L. ,  Csillag P. ,  Danyi P. ,  Erdélyi E. ,  Frei Zs. ,  Hetyei G. ,  Hursán Zsuzsanna ,  Kocsis Csilla ,  Kós G. ,  Lehoczky I. ,  Márkus A. ,  Megyesi G. ,  Nyikes P. ,  Pelles T. ,  Radnóti L. ,  Scharle A. ,  Selyem I. ,  Simon P. ,  Szabó 741 Z. ,  Szeier T. ,  Szemők Á. ,  Szöllősi Gabriella ,  Tóth G. ,  Törőcsik J. ,  Vindics I. ,  Zabó T. ,  Zsigri G. 
Füzet: 1983/május, 201. oldal  PDF file
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Feladat, Paraméteres egyenlőtlenségek, Másodfokú függvények
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/november: F.2386

Bizonyítsuk be, hogy ha a, b, x, y egészekre a>b2 és
a2x2+2abxy+(b2+1)y2<b2+1
teljesül, akkor x=y=0.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a2x2+2abxy+(b2+1)y2<b2+1(1)
Megoldás. Tekintsük (1) két oldalának különbségét y függvényeként, azaz legyen
f(y)=(b2+1)y2+2abxy+a2x2-(b2+1).
Az f(y) grafikonja egy felfelé nyíló parabola, hiszen a másodfokú tag együtthatója, b2+1, pozitív. Az (1) feltétel azt jelenti, hogy az f(y) függvény negatív értéket is felvesz, így f(y)-nak két különböző zérushelye van. Ez pedig azt jelenti, hogy az f(y)=0 másodfokú egyenlet diszkriminánsa pozitív:
D=(2abx)2-4(b2+1)(a2x2+b2-1)=4((b2+1)2-a2x2)>0.
Az a>b20 feltétel miatt a0, és így a D>0 ekvivalens azzal, hogy
|b2+1a|>|x|.

Mivel a és b egész, azért a>b2 egyúttal azt is adja, hogy ab2+1. Így azt kapjuk, hogy 1>|x|, ami alapján ‐ mivel x is egész ‐ csak x=0 lehetséges. Ha viszont x=0, akkor (1)-ből (b2+1)y2<b2+1, ahonnan y2<1, azaz y=0. Ezzel a feladat állítását igazoltuk.
 
Megjegyzés. Sokan azért nem kapták meg a maximális pontszámot, mert azt állították, hogy (1) bal oldalát az a>b2 feltétel miatt csökkentjük, ha a helyére b2-et írunk. Ez azonban nem mindig igaz, például ha még abxy<0 is teljesül, akkor abxy<b3xy.