Feladat:	F.2386	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Antall P. ,  Beke S. ,  Birkás Gy. ,  Bujdosó 419 L. ,  Böröczky L. ,  Csillag P. ,  Danyi P. ,  Erdélyi E. ,  Frei Zs. ,  Hetyei G. ,  Hursán Zsuzsanna ,  Kocsis Csilla ,  Kós G. ,  Lehoczky I. ,  Márkus A. ,  Megyesi G. ,  Nyikes P. ,  Pelles T. ,  Radnóti L. ,  Scharle A. ,  Selyem I. ,  Simon P. ,  Szabó 741 Z. ,  Szeier T. ,  Szemők Á. ,  Szöllősi Gabriella ,  Tóth G. ,  Törőcsik J. ,  Vindics I. ,  Zabó T. ,  Zsigri G.
Füzet:	1983/május, 201. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Feladat, Paraméteres egyenlőtlenségek, Másodfokú függvények
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/november: F.2386

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle a^2{x}^2+2abxy+\left(b^2+1\right)y^2<b^2+1}\end{array}$ (1) Megoldás. Tekintsük (1) két oldalának különbségét $y$ függvényeként, azaz legyen $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(y\right)=\left(b^2+1\right)y^2+2abxy+a^2{x}^2-\left(b^2+1\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Az $f\left(y\right)$ grafikonja egy felfelé nyíló parabola, hiszen a másodfokú tag együtthatója, $b^2+1$, pozitív. Az (1) feltétel azt jelenti, hogy az $f\left(y\right)$ függvény negatív értéket is felvesz, így $f\left(y\right)$-nak két különböző zérushelye van. Ez pedig azt jelenti, hogy az $f\left(y\right)=0$ másodfokú egyenlet diszkriminánsa pozitív: $\begin{array}{c}{\displaystyle D={\left(2abx\right)}^2-4\left(b^2+1\right)\left(a^2{x}^2+b^2-1\right)=4\left({\left(b^2+1\right)}^2-a^2{x}^2\right)>0.}\end{array}$ Az $a>b^2\geqq 0$ feltétel miatt $a\ne 0$, és így a $D>0$ ekvivalens azzal, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \left|\frac{b^2+1}{a}\right|>\left|x\right|\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $a$ és $b$ egész, azért $a>b^2$ egyúttal azt is adja, hogy $a\geqq b^2+1$. Így azt kapjuk, hogy $1>\left|x\right|$, ami alapján ‐ mivel $x$ is egész ‐ csak $x=0$ lehetséges. Ha viszont $x=0$, akkor (1)-ből $\left(b^2+1\right)y^2<b^2+1$, ahonnan $y^2<1$, azaz $y=0$. Ezzel a feladat állítását igazoltuk.   Megjegyzés. Sokan azért nem kapták meg a maximális pontszámot, mert azt állították, hogy (1) bal oldalát az $a>b^2$ feltétel miatt csökkentjük, ha $a$ helyére $b^2$-et írunk. Ez azonban nem mindig igaz, például ha még $abxy<0$ is teljesül, akkor $abxy<b^{3}xy$.