Feladat: F.2374 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Balog 444 P. ,  Bolla J. ,  Böröczky L. ,  Chrabák E. ,  Csillag P. ,  Csúri Piroska ,  Czinder P. ,  Fent J. ,  Hajnal P. ,  Harmat Zs. ,  Hetyei G. ,  Horváth 290 P. ,  Horváth Á. ,  Kovalcsik I. ,  Magyar L. ,  Megyesi G. ,  Mócsy Gy. ,  Nyúl Gy. ,  Parajdi I. ,  Pásztor L. ,  Pelles T. ,  Pogány Gy. ,  Rabb S. ,  Réz A. ,  Riesz F. ,  Sárközy G. ,  Stipsitz A. ,  Szakállas Gy. ,  Szakály Zs. ,  Tóth 555 S. ,  Tóth G. ,  Váradi Györgyi ,  Zabó T. 
Füzet: 1983/március, 108 - 109. oldal  PDF file
Témakör(ök): Számelrendezések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/szeptember: F.2374

Egy minden irányban végtelen kockás papír minden mezőjébe egy-egy egész számot írtunk. Tudjuk, hogy minden szám egyenlő a vele szomszédos négy mezőben álló szám számtani közepével. Következik-e ebből, hogy minden szám egyenlő? (Szomszédos két mező, ha van közös oldala.)
Oldjuk meg a feladatot úgy is, hogy benne a számtani közép helyett mértani közepet mondunk.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Számtani közép esetén a feltételekből nem következik az állítás. Erre elég egy példát mutatni. Írjunk a még üres papír tetszőleges mezőjébe nullát, e mező fölé és alá is nullát, tőle jobbra (+1)-et, balra (-1)-et. A kitöltést úgy folytassuk, hogy minden mezőbe olyan szám kerüljön, ami megegyezik az alatta, illetve fölötte levővel ill. 1-gyel nagyobb a tőle balra levőnél, a tőle jobbra levőnél pedig 1-gyel kisebb. Még ellenőriznünk kell, hogy teljesülnek-e a feltételek. Minden mezőbe írtunk számot, és az egész szám volt. Most tekintsünk egy tetszőleges mezőt! Ha az ebben levő szám n, akkor ennek szomszédságában ‐ a kitöltés szerint -n, n+1, n, n-1 számok állnak, ezek számtani közepe pedig n.
Tekintsünk egy tetszőleges, a mértani közepes feltételek szerint kitöltött papírt. Minden mezőben négy szám mértani közepe áll, azaz a négy szám szorzatának negyedik gyöke. Tehát negatív számok nem szerepelhetnek a kitöltésben. Mivel a mezőkben csak nemnegatív egész számok állhatnak, van közöttük olyan, amelyiknél nincs kisebb. Nézzük az összes ilyet, ezek közül válasszunk ki egyet, ez legyen n, ennek szomszédai a, b, c, d. Ekkor a feltételek szerint n=abcd4 és n választása miatt an, bn, cn, dn. Ez pedig vagy úgy lehet, hogy mindenhol egyenlőség áll, vagy ha n=0. De ha n=0, akkor a, b, c, d mindegyike is nulla, mert az ezek szomszédaira fölírt mértani közép tényezői közt szerepel n=0, tehát így is az első esethez jutottunk. De ha a=b=c=d=n, akkor a, b, c, d is legkisebb, tehát ezeket is választhattuk volna n-nek, így pedig kiderül, hogy minden mezőben egyforma számnak kell állnia. Tehát mértani közép esetén következik a feltételekből az állítás.

 
 (Sz. N. Cs.)