|
Feladat: |
F.2374 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Balog 444 P. , Bolla J. , Böröczky L. , Chrabák E. , Csillag P. , Csúri Piroska , Czinder P. , Fent J. , Hajnal P. , Harmat Zs. , Hetyei G. , Horváth 290 P. , Horváth Á. , Kovalcsik I. , Magyar L. , Megyesi G. , Mócsy Gy. , Nyúl Gy. , Parajdi I. , Pásztor L. , Pelles T. , Pogány Gy. , Rabb S. , Réz A. , Riesz F. , Sárközy G. , Stipsitz A. , Szakállas Gy. , Szakály Zs. , Tóth 555 S. , Tóth G. , Váradi Györgyi , Zabó T. |
Füzet: |
1983/március,
108 - 109. oldal |
PDF file |
Témakör(ök): |
Számelrendezések, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1982/szeptember: F.2374 |
|
Egy minden irányban végtelen kockás papír minden mezőjébe egy-egy egész számot írtunk. Tudjuk, hogy minden szám egyenlő a vele szomszédos négy mezőben álló szám számtani közepével. Következik-e ebből, hogy minden szám egyenlő? (Szomszédos két mező, ha van közös oldala.) Oldjuk meg a feladatot úgy is, hogy benne a számtani közép helyett mértani közepet mondunk.
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Számtani közép esetén a feltételekből nem következik az állítás. Erre elég egy példát mutatni. Írjunk a még üres papír tetszőleges mezőjébe nullát, e mező fölé és alá is nullát, tőle jobbra -et, balra -et. A kitöltést úgy folytassuk, hogy minden mezőbe olyan szám kerüljön, ami megegyezik az alatta, illetve fölötte levővel ill. -gyel nagyobb a tőle balra levőnél, a tőle jobbra levőnél pedig -gyel kisebb. Még ellenőriznünk kell, hogy teljesülnek-e a feltételek. Minden mezőbe írtunk számot, és az egész szám volt. Most tekintsünk egy tetszőleges mezőt! Ha az ebben levő szám , akkor ennek szomszédságában ‐ a kitöltés szerint , , , számok állnak, ezek számtani közepe pedig . Tekintsünk egy tetszőleges, a mértani közepes feltételek szerint kitöltött papírt. Minden mezőben négy szám mértani közepe áll, azaz a négy szám szorzatának negyedik gyöke. Tehát negatív számok nem szerepelhetnek a kitöltésben. Mivel a mezőkben csak nemnegatív egész számok állhatnak, van közöttük olyan, amelyiknél nincs kisebb. Nézzük az összes ilyet, ezek közül válasszunk ki egyet, ez legyen , ennek szomszédai , , , . Ekkor a feltételek szerint és választása miatt , , , . Ez pedig vagy úgy lehet, hogy mindenhol egyenlőség áll, vagy ha . De ha , akkor , , , mindegyike is nulla, mert az ezek szomszédaira fölírt mértani közép tényezői közt szerepel , tehát így is az első esethez jutottunk. De ha , akkor , , , is legkisebb, tehát ezeket is választhattuk volna -nek, így pedig kiderül, hogy minden mezőben egyforma számnak kell állnia. Tehát mértani közép esetén következik a feltételekből az állítás.
(Sz. N. Cs.)
|
|