Feladat: F.2368 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1983/január, 7 - 8. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometrikus egyenletek, Paraméteres egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/május: F.2368

Tekintsük az alábbi kifejezést:
E(x)=sin6x+cos6x+p(sin4x+cos4x).

a) Határozzuk meg a p paraméter értékét úgy, hogy a kifejezés értéke független legyen x-től.
b) Mely p értékekre van az E(x)=0 egyenletnek (valós) megoldása ?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel 1=(sin2x+cos2x)3=sin6x+cos6x+3sin2xcos2x, továbbá

1=(sin2x+cos2x)2=sin4x+cos4x+2sin2xcos2x,
az E(x) kifejezést a következő alakba írhatjuk:
E(x)=1-3sin2xcos2x+p(1-2sin2xcos2x)=(1)=1-34sin22x+p(1-12sin22x)=(1+p)-3+2p4sin22x.
Ha most E(x) értéke független x-től, akkor például E(0)=E(π/4), azaz (1+p)=(1+p)-(3+2p)/4. Tehát szükségképpen p=-3/2. Fordítva, ha p= =-3/2, akkor E(x)értéke (1) alapján -1/2 minden x-re. Ezzel megválaszoltuk a feladat a) kérdését.
Ami b)-t illeti, feltehetjük, hogy p-3/2, hiszen ekkor E(x)=0-nak nincs megoldása. (1) alapján E(x)=0 akkor és csak akkor, ha
sin22x=4(1+p)3+2p=1+1+2p3+2p.
Ezt kielégítő x pedig akkor és csak akkor létezik, ha
04(1+p)3+2p=1+1+2p3+2p1.
Az első egyenlőtlenség akkor áll, ha p<-3/2, vagy p-1; a második egyenlőtlenség pedig csak a -3/2<p-1/2 értékre teljesül. Így az E(x)=0 egyenletnek akkor és csak akkor van megoldása, ha -1p-1/2.