Kezdőlap


Feladat:	F.2368	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1983/január, 7 - 8. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Paraméteres egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/május: F.2368

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel $1 = {(sin^{2} x + cos^{2} x)}^{3} = sin^{6} x + cos^{6} x + 3 sin^{2} x cos^{2} x$ , továbbá

\begin{matrix} 1 = {(sin^{2} x + cos^{2} x)}^{2} = sin^{4} x + cos^{4} x + 2 sin^{2} x cos^{2} x, \end{matrix}

E (x)

kifejezést a következő alakba írhatjuk:

\begin{matrix} E (x) & = 1 - 3 sin^{2} x cos^{2} x + p (1 - 2 sin^{2} x cos^{2} x) = & (1) \\ = 1 - \frac{3}{4} sin^{2} 2 x + p (1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 x) = (1 + p) - \frac{3 + 2 p}{4} sin^{2} 2 x . \end{matrix}

Ha most

E (x)

értéke független

x

-től, akkor például

E (0) = E (π / 4)

, azaz

(1 + p) = (1 + p) - (3 + 2 p) / 4

. Tehát szükségképpen

p = - 3 / 2

. Fordítva, ha

p =

= - 3 / 2

, akkor

E (x)

értéke (1) alapján

- 1 / 2

minden

x

-re. Ezzel megválaszoltuk a feladat a) kérdését.
Ami b)-t illeti, feltehetjük, hogy

p \neq - 3 / 2

, hiszen ekkor

E (x) = 0

-nak nincs megoldása. (1) alapján

E (x) = 0

akkor és csak akkor, ha

\begin{matrix} sin^{2} 2 x = \frac{4 (1 + p)}{3 + 2 p} = 1 + \frac{1 + 2 p}{3 + 2 p} . \end{matrix}

Ezt kielégítő

x

pedig akkor és csak akkor létezik, ha

\begin{matrix} 0 \leq \frac{4 (1 + p)}{3 + 2 p} = 1 + \frac{1 + 2 p}{3 + 2 p} \leq 1. \end{matrix}

Az első egyenlőtlenség akkor áll, ha

p < - 3 / 2

, vagy

p \geq - 1

; a második egyenlőtlenség pedig csak a

- 3 / 2 < p \geq - 1 / 2

értékre teljesül. Így az

E (x) = 0

egyenletnek akkor és csak akkor van megoldása, ha

- 1 \leq p \leq - 1 / 2