Feladat: F.2358 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ákosfai Z. ,  Almássy T. ,  Ambrosz O. ,  Bán Éva ,  Böröczky K. ,  Csörgő T. ,  Danyi P. ,  Erdős L. ,  Fóris Z. ,  Hetyei G. ,  Holbok I. ,  Kovács 123 L. ,  Lengyel Zs. ,  Megyesi G. ,  Mikó Teréz ,  Mohay T. ,  Nádor P. ,  Nagy 548 R. ,  Pintér G. ,  Regős Enikő ,  Reviczky Z. ,  Szabó 555 L. ,  Szalai J. ,  Szemők Á. ,  Szöllősi Gabriella ,  Tóth 360 G. ,  Tranta Beáta ,  Törőcsik J. ,  Weisz Ferenc ,  Zieger B. ,  Zubor Z. 
Füzet: 1982/november, 124 - 125. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Vektorok skaláris szorzata, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/március: F.2358

Az a, b, c adott pozitív számokat jelölnek, x, y, z pedig egy háromszög szögeit. Minden lehetséges háromszögre kiszámítjuk az acosx+bcosy+ccosz értéket. Mennyi ezek maximuma?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy abc, s így abcacbbca.
Legyen az A és B pontok távolsága ab/c, s legyen C a síknak az a pontja, melyre az ABC háromszög szögei éppen x, y, illetve z (1. ábra).

 

1. ábra
 

Vegyük fel az AC félegyenesen a K pontot úgy, hogy AK=ac/b, s a BC félegyenesen az L pontot úgy, hogy BL=bc/a legyen. Világos, hogy K az A középpontú, ac/b sugarú körön, L pedig a B középpontú, bc/a sugarú körön van. Elsőként a KL távolságot határozzuk meg. Ehhez vegyük észre, hogy a KL vektor a KA, AB, BL vektorok összege, ahonnan
KL2=(KA+AB+BL)2=KA2+AB2+BL2+2KAAB+
+2KABL+2ABBL.
Az itt szereplő három skaláris szorzat értékét könnyen megkaphatjuk, hiszen a KA és AB vektorok szöge 180-x, az AB és BL szöge 180-y, végül BL és KA szöge 180-z, továbbá a vektorok hossza is ismert. Így
KL2=KA2+AB2+BL2-2KAABcosx-(1)-2ABBLcosy-2BLKAcosz,
amiből
2acosx+2bcosy+2ccosz=abc+acb+bca-KL2,(2)

Így a kérdéses kifejezés a maximumát akkor veszi fel, amikor a KL távolság a minimumát. Ha most a fenti két kör metszi egymást, azaz
abc<acb+bca,(3)
vagy abc-vel mindkét oldalt leosztva 1/c<1/a+1/b, akkor K és L is eshet a metszéspontba, tehát a KL távolság minimuma 0, és (2) alapján az acosx+bcosy+ccosz maximuma
12(abc+acc+bca).
Ha viszont (3) nem teljesül, akkor a K és L pontok távolsága mindig több, mint abc-acb-bca, azaz acosx+bcosy+ccosz mindig több, mint
12(abc+acb+bca-(abc-acb-bca)2)=a+b-c,
de ezt az értéket akármennyire megközelítheti.
 

 Weisz Ferenc (Mohács, Kisfaludy K. Gimn., IV. o. t.)
 

Megjegyzés. Az (1) összefüggést vektorokra való hivatkozás nélkül is megkaphatjuk. Legyen D az a pont, amelyre KLBD paralelogramma.
 

2. ábra
 

Ekkor, a cosinustétel alapján (2. ábra)
2KAABcosx=KA2+AB2-KB2,
2ABBLcosy=AB2+BL2-AL2,
2BLKAcosz=2DKKAcosz=DK2+KA2-AD2,
Így (1) igazolásához azt kell megmutatnunk, hogy
KL2=KB2+AL2+AD2-(AB2+KA2+BL2).(4)
Jelöljük S-sel a KLBD paralelogramma középpontját. Felhasználva, hogy minden paralelogrammában az oldalak és az átlók négyzetösszege megegyezik, továbbá hogy AS súlyvonal a KAB, valamint LAD háromszögekben, kapjuk, hogy
4AS2=2AB2+2AK2-KB2,4AS2=2AL2+2AD2-LD2,2KL2+2BL2=LD2+KB2.
Az első összefüggést a második és harmadik összegéből kivonva éppen (4)-et kapjuk.