|
Feladat: |
F.2358 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Ákosfai Z. , Almássy T. , Ambrosz O. , Bán Éva , Böröczky K. , Csörgő T. , Danyi P. , Erdős L. , Fóris Z. , Hetyei G. , Holbok I. , Kovács 123 L. , Lengyel Zs. , Megyesi G. , Mikó Teréz , Mohay T. , Nádor P. , Nagy 548 R. , Pintér G. , Regős Enikő , Reviczky Z. , Szabó 555 L. , Szalai J. , Szemők Á. , Szöllősi Gabriella , Tóth 360 G. , Tranta Beáta , Törőcsik J. , Weisz Ferenc , Zieger B. , Zubor Z. |
Füzet: |
1982/november,
124 - 125. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Vektorok skaláris szorzata, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1982/március: F.2358 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy , s így . Legyen az és pontok távolsága , s legyen a síknak az a pontja, melyre az háromszög szögei éppen , , illetve (1. ábra).
1. ábra Vegyük fel az félegyenesen a pontot úgy, hogy , s a félegyenesen az pontot úgy, hogy legyen. Világos, hogy az középpontú, sugarú körön, pedig a középpontú, sugarú körön van. Elsőként a távolságot határozzuk meg. Ehhez vegyük észre, hogy a vektor a , , vektorok összege, ahonnan | | Az itt szereplő három skaláris szorzat értékét könnyen megkaphatjuk, hiszen a és vektorok szöge , az és szöge , végül és szöge , továbbá a vektorok hossza is ismert. Így
amiből | | (2) |
Így a kérdéses kifejezés a maximumát akkor veszi fel, amikor a távolság a minimumát. Ha most a fenti két kör metszi egymást, azaz vagy -vel mindkét oldalt leosztva , akkor és is eshet a metszéspontba, tehát a távolság minimuma , és (2) alapján az maximuma Ha viszont (3) nem teljesül, akkor a és pontok távolsága mindig több, mint , azaz mindig több, mint | | de ezt az értéket akármennyire megközelítheti.
Weisz Ferenc (Mohács, Kisfaludy K. Gimn., IV. o. t.)
Megjegyzés. Az (1) összefüggést vektorokra való hivatkozás nélkül is megkaphatjuk. Legyen az a pont, amelyre paralelogramma.
2. ábra Ekkor, a cosinustétel alapján (2. ábra) | | Így (1) igazolásához azt kell megmutatnunk, hogy | | (4) | Jelöljük -sel a paralelogramma középpontját. Felhasználva, hogy minden paralelogrammában az oldalak és az átlók négyzetösszege megegyezik, továbbá hogy súlyvonal a , valamint háromszögekben, kapjuk, hogy
Az első összefüggést a második és harmadik összegéből kivonva éppen (4)-et kapjuk. |
|