Feladat: F.2352 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Megyesi Gábor ,  Szabó Endre 
Füzet: 1982/november, 118 - 119. oldal  PDF file
Témakör(ök): Függvényegyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/február: F.2352

Az f függvény a 0x1 intervallumon értelmezett, és 0f(x)1. Mutassuk meg, hogy ha
f(x)+f(y)=f(f(x)+y)
minden olyan (x;y) értékpárra, amelyre mindkét oldal értelmezve van, akkor f(f(x))=f(x).

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

f(x)+f(y)=f(f(x)+y)(1)
I. megoldás. Elegendő azt megmutatni, hogy f(0)=0, mivel ekkor (1)-be y=0-t írva kapjuk a bizonyítandó állítást.
Képezzük i=0,1,2,...-re az a0=0, ai+1=f(ai) rekurzióval definiált sorozatot. Mivel f a  0x1 intervallumon értelmezett és 0f(x)1, ez egy értelmes definíció, és 0ai1 minden i-re. Írjunk (1)-ben x helyébe ai-t és y helyébe 0-t:
f(ai)+f(0)=f(f(ai)),
vagyis
ai+1+f(0)=ai+2,
tehát minden k1-re
ak+1-ak=f(0).
Ez pedig azt jelenti, hogy az a1,a2,... sorozat egy f(0) különbségű számtani sorozat, melynek minden tagja a [0,1] intervallumba esik. Ez pedig csak f(0)=0 esetén lehetséges.
 

 Megyesi Gábor (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., I. o. t.)
 

II. megoldás. Újabb bizonyítását adjuk annak, hogy a feladat feltételeinek teljesülése esetén f(0)=0.
0f(x)1, tehát f(f(x)) értelmezve van a [0,1] intervallumon. Tegyük fel, hogy f(0)>0. Mivel f(x) értékkészlete korlátos, van legkisebb felső korlátja, legyen ez A. Mivel f(0)>0, van olyan x, hogy f(x)>A-f(0)2.
Ekkor
f(f(x))=f(x)+f(0)>A-f(0)2+f(0)>A,
ellentmondás. Így tehát f(0)=0.
 

 Szabó Endre (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o . t.)