Feladat:	F.2352	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Megyesi Gábor ,  Szabó Endre
Füzet:	1982/november, 118 - 119. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Függvényegyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/február: F.2352

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)+f\left(y\right)=f\left(f\left(x\right)+y\right)}\end{array}$ (1) I. megoldás. Elegendő azt megmutatni, hogy $f\left(0\right)=0$, mivel ekkor (1)-be $y=0$-t írva kapjuk a bizonyítandó állítást. Képezzük $i=\mathrm{0,}\mathrm{1,}\mathrm{2,}\text{...}$-re az $a_0=0$, $a_{i+1}=f\left(a_i\right)$ rekurzióval definiált sorozatot. Mivel $f$ a  $0\leqq x\leqq 1$ intervallumon értelmezett és $0\leqq f\left(x\right)\leqq 1$, ez egy értelmes definíció, és $0\leqq a_i\leqq 1$ minden $i$-re. Írjunk (1)-ben $x$ helyébe $a_i$-t és $y$ helyébe $0$-t: $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(a_i\right)+f\left(0\right)=f\left(f\left(a_i\right)\right)\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle a_{i+1}+f\left(0\right)=a_{i+2}\mathrm{,}}\end{array}$ tehát minden $k\geqq 1$-re $\begin{array}{c}{\displaystyle a_{k+1}-a_k=f\left(0\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ez pedig azt jelenti, hogy az $a_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}\text{...}$ sorozat egy $f\left(0\right)$ különbségű számtani sorozat, melynek minden tagja a $\left[\mathrm{0,}1\right]$ intervallumba esik. Ez pedig csak $f\left(0\right)=0$ esetén lehetséges.    Megyesi Gábor (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., I. o. t.)   II. megoldás. Újabb bizonyítását adjuk annak, hogy a feladat feltételeinek teljesülése esetén $f\left(0\right)=0$. $0\leqq f\left(x\right)\leqq 1$, tehát $f\left(f\left(x\right)\right)$ értelmezve van a $\left[\mathrm{0,}1\right]$ intervallumon. Tegyük fel, hogy $f\left(0\right)>0$. Mivel $f\left(x\right)$ értékkészlete korlátos, van legkisebb felső korlátja, legyen ez $A$. Mivel $f\left(0\right)>0$, van olyan $x$, hogy $f\left(x\right)>A-\frac{f\left(0\right)}{2}$. Ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(f\left(x\right)\right)=f\left(x\right)+f\left(0\right)>A-\frac{f\left(0\right)}{2}+f\left(0\right)>A\mathrm{,}}\end{array}$ ellentmondás. Így tehát $f\left(0\right)=0$.    Szabó Endre (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o . t.)