Feladat: F.2322 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Drávucz Katalin ,  Hetyei G. ,  Megyesi G. ,  Szabó E. ,  Tóth 360 G. ,  Weisz F. 
Füzet: 1982/február, 64 - 65. oldal  PDF file
Témakör(ök): Számtani közép, Mértani közép, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/szeptember: F.2322

Legyen An a következő állítás: ,,Ha n darab pozitív egész szám számtani közepét a számok mértani közepével osztva a hányados egész, akkor a számok egyenlőek.''
Bizonyítsuk be, hogy A2 igaz, de ha n>2, akkor An nem igaz.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Lássuk be először, hogy A2 igaz. Legyenek a számaink a és b, számtani és mértani közepüknek hányadosa, k egész szám. Az

a+b2:ab=k
feltételt kissé más alakba írva
k2(a-b)2=(k2-1)(a+b)2.(1)
A bal oldalon egy egész szám négyzete áll, tehát a jobb oldalnak, és így (k2-1)-nek is teljes négyzetnek kell lennie. Ez azonban csak k=1 esetén teljesül, tehát (1) mindkét oldalának értéke 0, ahonnan a=b.
Az n>2 esetekben An hamis voltát úgy látjuk be, hogy keresünk olyan a1,a2,...,an pozitív egészeket, melyek nem mind egyenlőek, és melyekre a
a1+a2+...+anna1a2...an1n(2)
hányados értéke egész.
Ha n>2 és páros, akkor az
a1=a2=...=an-1=1  és  an=(n-1)n
választás megfelel. Ez esetben ugyanis nyilván an1 és (2) értéke
(n-1)+(n-1)nn(n-1)=(n-1)n-1+1n
ami egész, mivel a kitevő páratlan, tehát a számláló osztható (n-1)+1=n-nel.
Ha pedig n>2 páratlan, akkor legyen
a1=a2=...=an-2=1,an-1=(n-2)(n-1)nésan=(n-2)n-1nn.
Ebben az esetben is an1 és (2) értéke
(n-2)+(n-2)(n-1)n+(n-2)n-1nnn(n-2)(n-1)n=1+(n-1)n+(n-2)n-2nnn2(n-1).(3)
Elegendő megmutatnuk, hogy a jobb oldalon szereplő hányados számlálója külön-külön osztható (n-1)-gyel és n2-tel is, hiszen (n-1) és n2 relatív prímek, és így ebből már következik, hogy (3) értéke egész. Ha ezt a számlálót az
((n-2)n-2+1)nn-(nn-1)+(n-1)n
alakba írjuk, akkor láthatóan mindhárom tag, tehát összegük is osztható (n-1)-gyel. Végül az n2-tel való oszthatósághoz n>2 miatt elegendő megmutatnunk, hogy
1+(n-1)n=(1+(n-1))[(n-1)n-1-(n-1)n-2+...-(n-1)+1]
osztható n2-tel. A szorzat első tényezője éppen n. A második tényezőben az összeadandók n-nel osztva +1 vagy -1 maradékot adnak attól függően, hogy (n-1) kitevője páros vagy páratlan. Ezeket a maradékokat váltakozó előjellel összeadva éppen n-et kapunk, tehát a második tényező is osztható n-nel.
Ezzel megmutattuk, hogy a (3) hányados értéke egész, s így a feladat állítását is beláttuk.
 

 Drávucz Katalin (Szolnok, Verseghy F. Gimn., N. o. t.) dolgozata alapján
 
Megjegyzés. Ez a feladat nehéznek bizonyult. Érdekes, hogy a jó megoldók közül is soknak beletörött a bicskája. Közülük ezt sokan el is ismerték, de akadtak olyanok is, akik ‐ miután páros n-re megadták a jó ellenpéldát ‐ kijelentették, hogy páratlan n-re hasonló a helyzet.