Kezdőlap


Feladat:	F.2322	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Drávucz Katalin , Hetyei G. , Megyesi G. , Szabó E. , Tóth 360 G. , Weisz F.
Füzet:	1982/február, 64 - 65. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani közép, Mértani közép, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/szeptember: F.2322

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Lássuk be először, hogy $A_{2}$ igaz. Legyenek a számaink $a$ és $b$ , számtani és mértani közepüknek hányadosa, $k$ egész szám. Az

\begin{matrix} \frac{a + b}{2} : \sqrt[]{a b} = k \end{matrix}

feltételt kissé más alakba írva

\begin{matrix} k^{2} {(a - b)}^{2} = (k^{2} - 1) {(a + b)}^{2} . \end{matrix}

(1)

A bal oldalon egy egész szám négyzete áll, tehát a jobb oldalnak, és így

(k^{2} - 1)

-nek is teljes négyzetnek kell lennie. Ez azonban csak

k = 1

esetén teljesül, tehát (1) mindkét oldalának értéke

0

, ahonnan

a = b

.
Az

n > 2

esetekben

A_{n}

hamis voltát úgy látjuk be, hogy keresünk olyan

a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}

pozitív egészeket, melyek nem mind egyenlőek, és melyekre a

\begin{matrix} \frac{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}}{n \sqrt[^{n}]{a_{1} a_{2} ... a_{n}}} \end{matrix}

(2)

hányados értéke egész.
Ha

n > 2

és páros, akkor az

\begin{matrix} a_{1} = a_{2} = ... = a_{n - 1} = 1 és a_{n} = {(n - 1)}^{n} \end{matrix}

választás megfelel. Ez esetben ugyanis nyilván

a_{n} \neq 1

és (2) értéke

\begin{matrix} \frac{(n - 1) + {(n - 1)}^{n}}{n \cdot (n - 1)} = \frac{{(n - 1)}^{n - 1} + 1}{n} \end{matrix}

ami egész, mivel a kitevő páratlan, tehát a számláló osztható

(n - 1) + 1 = n

-nel.
Ha pedig

n > 2

páratlan, akkor legyen

\begin{matrix} a_{1} = a_{2} = ... = a_{n - 2} = 1, a_{n - 1} = (n - 2) {(n - 1)}^{n} és a_{n} = {(n - 2)}^{n - 1} n^{n} . \end{matrix}

Ebben az esetben is

a_{n} \neq 1

és (2) értéke

\begin{matrix} \frac{(n - 2) + (n - 2) {(n - 1)}^{n} + {(n - 2)}^{n - 1} n^{n}}{n \cdot (n - 2) (n - 1) n} = \frac{1 + {(n - 1)}^{n} + {(n - 2)}^{n - 2} n^{n}}{n^{2} (n - 1)} . \end{matrix}

(3)

Elegendő megmutatnuk, hogy a jobb oldalon szereplő hányados számlálója külön-külön osztható

(n - 1)

-gyel és

n^{2}

-tel is, hiszen

(n - 1)

és

n^{2}

relatív prímek, és így ebből már következik, hogy (3) értéke egész. Ha ezt a számlálót az

\begin{matrix} ({(n - 2)}^{n - 2} + 1) n^{n} - (n^{n} - 1) + {(n - 1)}^{n} \end{matrix}

alakba írjuk, akkor láthatóan mindhárom tag, tehát összegük is osztható

(n - 1)

-gyel. Végül az

n^{2}

-tel való oszthatósághoz

n > 2

miatt elegendő megmutatnunk, hogy

\begin{matrix} 1 + {(n - 1)}^{n} = (1 + (n - 1)) \cdot [{(n - 1)}^{n - 1} - {(n - 1)}^{n - 2} + ... - (n - 1) + 1] \end{matrix}

osztható

n^{2}

-tel. A szorzat első tényezője éppen

n

. A második tényezőben az összeadandók

n

-nel osztva

+ 1

vagy

- 1

maradékot adnak attól függően, hogy

(n - 1)

kitevője páros vagy páratlan. Ezeket a maradékokat váltakozó előjellel összeadva éppen

n

-et kapunk, tehát a második tényező is osztható

n

-nel.
Ezzel megmutattuk, hogy a (3) hányados értéke egész, s így a feladat állítását is beláttuk.

Drávucz Katalin (Szolnok, Verseghy F. Gimn., N. o. t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. Ez a feladat nehéznek bizonyult. Érdekes, hogy a jó megoldók közül is soknak beletörött a bicskája. Közülük ezt sokan el is ismerték, de akadtak olyanok is, akik ‐ miután páros

n

-re megadták a jó ellenpéldát ‐ kijelentették, hogy páratlan

n

-re hasonló a helyzet.