Feladat: F.2319 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Alberti G. ,  Balázs Z. ,  Borsó Zs. ,  Böröczky K. ,  Csere K. ,  Csörgő T. ,  Erdős L. ,  Feledi Gy. ,  Fritz P. ,  Gulyás Gy. ,  Heckenast L. ,  Hetyei G. ,  Holbok I. ,  Ittzés A. ,  Károlyi Gy. ,  Kató G. ,  Kerényi I. ,  Király Z. ,  Megyesi G. ,  Méry Zs. ,  Mihálykó Cs. ,  Mikó Teréz ,  Mohay T. ,  Molnár L. ,  Nagy R. ,  Poór I. ,  Regős Enikő ,  Simonyi G. ,  Somogyi H. ,  Szabó E. ,  Szabó T. ,  Szállási Z. ,  Tranta Beáta ,  Törőcsik J. ,  Weisz F. 
Füzet: 1981/december, 203 - 205. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Tetraéderek, Feladat, Térgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/május: F.2319

Írjunk G1 gömböt az ABCD tetraéder A, B, C csúcsain és AD élének F felezőpontján át és jelöljük a DB, DC élen levő második metszéspontját M-mel, és N-nel. Írjunk G2 gömböt a D, B, C, F pontokon át és jelöljük az AB, AC élen levő pontját P-vel, Q-val. Bizonyítsuk be, hogy az FMN és FPQ háromszögek hasonlóak.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nem lesz szükségünk a bizonyításhoz az F pont speciálisnak előírt helyzetére. Ábránkon DA-t éreztetjük legkisebbnek a D-ben összefutó oldalélek közül, így az M és N, valamint a P és Q pontok valóban belső pontok lesznek az illető élszakaszon.


Ezt azonban szintén nem fogjuk felhasználni. ‐ A hasonlóságot azzal bizonyítjuk, hogy kifejezzük a kérdéses háromszögek oldalait a tetraéder éleivel és az F helyzetét meghatározó DF távolsággal.
G1-ből a DAB, DBC, DCA oldallapok egy-egy kört metszenek ki, ezekhez képest az illető két-két oldalél szerepe szelőpár, ennélfogva a szelőszakaszokra ismert tétel szerint
DFDA=DMDB=DNDC,(1)
így M és N távolsága a csúcstól
DM=DADBDF,DN=DADCDF.

Más rendezésben írjuk az (1) első két szorzatát:
DFDM=DBDA,
amihez hozzávéve, hogy a balról és jobbról álló szakaszpár közti szög azonos, kapjuk, hogy a DFM és DBA háromszögek hasonlók, a csúcsok a felsorolások rendjében felelnek meg egymásnak. Ugyanígy DFNDCA, és DMNDCB.
Ezekből az FMN háromszög oldalaira
FM=DFDBBA,
MN=DMDCCB=CBDCDADBDF,
és a kettőnek az aránya tüstént
FM:MN=BA:CBDADC=BADC:CBDA.
Továbbá NF=DFDCAC, tehát
FM:NF=BADB:ACDC=BADC:ACDB.
Ezek szerint van olyan λ, hogy
FM=λABDC;MN=λBCDA;NF=λCADB,
vagyis az FMN háromszög oldalaival arányos számokat kapunk, ha alkalmasan 3 párba állítjuk a tetraéder 6 élét, és a párokat összeszorozzuk. Minden egyes párt egy alapél és egy oldalél alkot, az FM oldal arányszámában az ezt a szakaszt tartalmazó oldallap AB alapéle szerepel a szemben fekvő DC oldaléllel szorozva s í. t.
Látható, hogy F-nek nincs kiemelt szerepe M és N-hez képest a G1 meghatározásában, vehettük volna A, B, C mellé M-et is, vagy N-et.
És ezzel készen is vagyunk. A szorzatokban szereplő élpárok mindig ugyanazok maradnak, bármelyik lapból mint alaplapból indulunk is ki a gömb meghatározásához, tehát a gömbök által a megfelelő élhármasokból kimetszett pontok révén meghatározott háromszög alakja (azaz oldalainak aránya) független az alaplap és a negyedik pont megválasztásától.
A feladat előírása szerint a DBC alaplapból indulva, az FP, PQ, QF metszetoldalt a DB, BC, CD alapélre támaszkodó oldallap tartalmazza. Ezeket sorra FN, NM, MF-nek előbbi kifejezése tartalmazza, tehát az állítás szerinti hasonlóságban F az F-nek, P az N-nek, Q pedig az M-nek felel meg.
Valóban nem használtuk fel, hogy F felezi a DA oldalélt. Ebből az következik, hogy ha F befutja a DA él belsejét, akkor (1) alapján a keletkező FMN síkok egymással párhuzamosak.
 

Megjegyzések. 1. Ha F befut D-be, akkor persze M és N is, G1 helyén az ABCD tetraéder G0 körülírt gömbje áll előttünk. Azt sejtjük ebből, hogy az FMN sík párhuzamos G0-nak D-beli érintősíkjával, az FQP sík pedig az A-beli érintősíkkal.
 

2. Megerősíti ezt a sejtést, hogy a felhasznált hasonló háromszögpárokból
DFM=DBAésDFN=DCA.
Az FQP háromszög esetére hasonlóan kapnánk a következőket:
AFP=ABDésAFQ=ACD.
tehát
DFM=AFPésDFN=AFQ.
vagyis az ADB lapban az FM és FP egyenesek, az ADC lapban az FN és FQ egyenesek egymás tükörképei az F-ben DA-ra merőlegesen álló tengelyre nézve. És ezeket folytatva az FMN és FPQ síkok egymás képei az F-ben DA-ra merőlegesen álló tükörsíkra nézve. (Most valóban szemléletesebb először DF=AF-re gondolni.)
 

3. Előfordulhat, hogy pl. M azonosnak adódik B-vel, mert DB érinti a gömböt. Legyen például B egy kocka csúcsa, A, C, D a vele szomszédos csúcsok, és tegyük AC-t a G1 átmérőjévé.
Ha B-t és C-t még nem rögzítettük a DB, DC félegyeneseken, csupán A-t és F-et, az ezeken átmenő, elég nagy sugarú G1 gömb általában 2‐2 pontban metszi a félegyeneseket, azokat 4-féleképpen is kioszthatjuk B és M, ill. C és N szerepére ‐ ezek által válik meghatározottá a tetraéder ‐ és dől el, hogy M és N az élszakaszon van, vagy meghosszabbításán. Emiatt volt célszerűbb a szelőszakaszok tételét használni, semmint a húrnégyszögek tulajdonságait, mert az előforduló húrnégyszögek hurkoltak is lehetnek.