|
Feladat: |
F.2319 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Alberti G. , Balázs Z. , Borsó Zs. , Böröczky K. , Csere K. , Csörgő T. , Erdős L. , Feledi Gy. , Fritz P. , Gulyás Gy. , Heckenast L. , Hetyei G. , Holbok I. , Ittzés A. , Károlyi Gy. , Kató G. , Kerényi I. , Király Z. , Megyesi G. , Méry Zs. , Mihálykó Cs. , Mikó Teréz , Mohay T. , Molnár L. , Nagy R. , Poór I. , Regős Enikő , Simonyi G. , Somogyi H. , Szabó E. , Szabó T. , Szállási Z. , Tranta Beáta , Törőcsik J. , Weisz F. |
Füzet: |
1981/december,
203 - 205. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Tetraéderek, Feladat, Térgeometriai bizonyítások |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1981/május: F.2319 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Nem lesz szükségünk a bizonyításhoz az pont speciálisnak előírt helyzetére. Ábránkon -t éreztetjük legkisebbnek a -ben összefutó oldalélek közül, így az és , valamint a és pontok valóban belső pontok lesznek az illető élszakaszon.
Ezt azonban szintén nem fogjuk felhasználni. ‐ A hasonlóságot azzal bizonyítjuk, hogy kifejezzük a kérdéses háromszögek oldalait a tetraéder éleivel és az helyzetét meghatározó távolsággal. -ből a , , oldallapok egy-egy kört metszenek ki, ezekhez képest az illető két-két oldalél szerepe szelőpár, ennélfogva a szelőszakaszokra ismert tétel szerint így és távolsága a csúcstól Más rendezésben írjuk az (1) első két szorzatát: amihez hozzávéve, hogy a balról és jobbról álló szakaszpár közti szög azonos, kapjuk, hogy a és háromszögek hasonlók, a csúcsok a felsorolások rendjében felelnek meg egymásnak. Ugyanígy , és . Ezekből az háromszög oldalaira és a kettőnek az aránya tüstént | | Továbbá , tehát | | Ezek szerint van olyan , hogy | | vagyis az háromszög oldalaival arányos számokat kapunk, ha alkalmasan 3 párba állítjuk a tetraéder 6 élét, és a párokat összeszorozzuk. Minden egyes párt egy alapél és egy oldalél alkot, az oldal arányszámában az ezt a szakaszt tartalmazó oldallap alapéle szerepel a szemben fekvő oldaléllel szorozva s í. t. Látható, hogy -nek nincs kiemelt szerepe és -hez képest a meghatározásában, vehettük volna , , mellé -et is, vagy -et. És ezzel készen is vagyunk. A szorzatokban szereplő élpárok mindig ugyanazok maradnak, bármelyik lapból mint alaplapból indulunk is ki a gömb meghatározásához, tehát a gömbök által a megfelelő élhármasokból kimetszett pontok révén meghatározott háromszög alakja (azaz oldalainak aránya) független az alaplap és a negyedik pont megválasztásától. A feladat előírása szerint a alaplapból indulva, az , , metszetoldalt a , , alapélre támaszkodó oldallap tartalmazza. Ezeket sorra , , -nek előbbi kifejezése tartalmazza, tehát az állítás szerinti hasonlóságban az -nek, az -nek, pedig az -nek felel meg. Valóban nem használtuk fel, hogy felezi a oldalélt. Ebből az következik, hogy ha befutja a él belsejét, akkor (1) alapján a keletkező síkok egymással párhuzamosak.
Megjegyzések. 1. Ha befut -be, akkor persze és is, helyén az tetraéder körülírt gömbje áll előttünk. Azt sejtjük ebből, hogy az sík párhuzamos -nak -beli érintősíkjával, az sík pedig az -beli érintősíkkal. 2. Megerősíti ezt a sejtést, hogy a felhasznált hasonló háromszögpárokból Az háromszög esetére hasonlóan kapnánk a következőket: tehát vagyis az lapban az és egyenesek, az lapban az és egyenesek egymás tükörképei az -ben -ra merőlegesen álló tengelyre nézve. És ezeket folytatva az és síkok egymás képei az -ben -ra merőlegesen álló tükörsíkra nézve. (Most valóban szemléletesebb először -re gondolni.) 3. Előfordulhat, hogy pl. azonosnak adódik -vel, mert érinti a gömböt. Legyen például egy kocka csúcsa, , , a vele szomszédos csúcsok, és tegyük -t a átmérőjévé. Ha -t és -t még nem rögzítettük a , félegyeneseken, csupán -t és -et, az ezeken átmenő, elég nagy sugarú gömb általában 2‐2 pontban metszi a félegyeneseket, azokat 4-féleképpen is kioszthatjuk és , ill. és szerepére ‐ ezek által válik meghatározottá a tetraéder ‐ és dől el, hogy és az élszakaszon van, vagy meghosszabbításán. Emiatt volt célszerűbb a szelőszakaszok tételét használni, semmint a húrnégyszögek tulajdonságait, mert az előforduló húrnégyszögek hurkoltak is lehetnek.
|
|