Feladat: F.2317 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ákosfai Z. ,  Alberti G. ,  Balázs Z. ,  Békési J. ,  Borsó Zs. ,  Böröczky K. ,  Csere K. ,  Cseri Hajnalka ,  Csörgő T. ,  Drávucz Katalin ,  Erdős 228 L. ,  Feledi György ,  Fóris Z. ,  Gulyás Gy. ,  Halász P. ,  Hatt J. ,  Hetyei G. ,  Hideg Sz. ,  Holbok I. ,  Ittzés A. ,  Jakab G. ,  Károlyi Gy. ,  Kerényi I. ,  Király Z. ,  Kovács 444 G. ,  Magyar Á. ,  Magyar Cs. ,  Megyesi G. ,  Mohay T. ,  Molnár L. ,  Nagy 548 R. ,  Regős Enikő ,  Simák Gy. ,  Szabó E. ,  Szijártó Z. ,  Terenyi Z. ,  Tóthegyi Tünde ,  Tranta Beáta ,  Törőcsik J. ,  Weisz F. 
Füzet: 1982/január, 19 - 21. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenesek egyenlete, Parabola egyenlete, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/május: F.2317

Adott a síkban két párhuzamos egyenes a és b, és egy, az a-ra nem illeszkedő M pont. Egy, az M körül forgó egyenes minden helyzetében megkeressük az a-val való A metszéspontját. Messe az A-ban a-ra állított merőleges b-t B-ben és rajzoljuk meg B-n át az MA-ra merőleges egyenest. Bizonyítsuk be, hogy minden ilyen egyenes érinti ugyanazt a parabolát.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Ha az állítás érvényes a b egyenesre, akkor tetszőleges, b-vel párhuzamos b' egyenesre is igaz. Ugyanis a b-t b'-be vivő, rájuk merőleges eltolásvektor jellemzi a B eltolódását is, a kérdéses g egyenesét is, a forgó e egyenes minden helyzetében (hacsak A létrejön), tehát a g egyenessereggel együtt a feladat állításában szereplő parabola is ugyanúgy tolódik el.
Vehetjük tehát b helyére a vele párhuzamos, M-en átmenő egyenest, tovább az egyszerűség kedvéért ezt jelöljük b-vel. És vegyük mindjárt ezt derékszögű koordinátarendszerünk első tengelyéül, origójául M-et, és ]egyen az a egyenes egyenlete y=-c, ahol c>0.


Jellemezzük e helyzetét az a-n futó A(z,-c) pontjával, ahol z paraméter. Nem jön létre A, B és g, ha ea, ha pedig ea, azaz z=0, akkor g azonos b-vel, hiszen ekkor B=M. Minden más esetben e és g iránytangense -c/z, ill. z/c, a B pont helyzete (z,0), ezekből g egyenlete
yx-z=zc,y=zcx-z2c.(1)
Ebben az eredményben benne van az előre elintézett z=0 eset is.
A kapott egyenlet pedig azonos az y=x24c parabolához a (2z,z2c) pontjában húzott érintő egyenletével. Ugyanis az érintő iránytangense deriválás útján bármely x0 pontban x02c, tehát egyenlete
y-x024cx-x0=x02c,
ill. x0=2z mellett
y-z2cy-2z=zc,
átrendezve valóban azonos (1)-gyel.
 


Ezzel az állítást bebizonyítottuk.
A c>0 kikötés nem volt lényeges, csak a szemléletesség, az ábrával való egyezés kedvéért alkalmaztuk; a feladat szerint mindenesetre c0.
 

II. megoldás. Előkészítésül fel fogjuk használni a parabola következő tulajdonságát. Legyen a parabola tengelye t, csúcsa C, az itt húzott érintője c, továbbá egy tetszőleges P pontjához tartozó érintőjének c-vel, t-vel való metszéspontja Q, ill. R, ekkor Q felezi a PR szakaszt. Ekvivalens ezzel, hogy Q felezi a CP' szakaszt, ahol P' a P-nek c-n levő vetülete.
Jelöljük t*-gal az M-en átmenő, a-ra merőleges egyenest. Erre tengelyesen szimmetrikus a kiindulási a, b, M alakzat, és ezért t* a forgó e egyenesből leszármaztatott g egyenesek seregének is szimmetriatengelye, tehát az állítás szerinti parabola tengelye csak t* lehet. (Ha ugyanis e-nek e1 és e2 helyzetei egymás képei t*-ra, akkor ugyanez áll a megfelelő A1- és A2-re, B1- és B2-re, MA1-re és MA2-re, tehát g1 és g2-re is.) Tovább t* helyett a t jelet írjuk.
Jelöljük t-nek a-n, b-n levő pontját S-sel, T-vel, a T-nek B-re való tükörképét T'-vel, továbbá P-vel a g-nek azt a pontját, amelyre PT' merőleges b-re. Belátjuk, hogy P mértani helye egy parabola. (P létezik, ha g létrejött.) Szerkesztésünk alapján BPT' és MAS hasonló (derékszögű) háromszögek, ebből
PT'=BT'MSAS=TT'24MS,(2)
hiszen AS=BT=BT'=TT'/2. Ha pedig speciálisan e merőleges a-ra, vagyis azonos t-vel, akkor A=S, B=T, g=b és P=T, tehát (2) érvényes erre az esetre is.
A b, t egyenespárt a derékszögű koordináta‐rendszer első, ill. második tengelyének véve (2) így alakul:
y=x24MS,(2a)
ami valóban parabola egyenlete.
Azt kell még belátnunk az állítás igazolásához, hogy a (2a) parabolához P-ben fektetett érintő éppen a felhasznált g egyenes.

Mivel a parabola tengelye az ST egyenes, s tengelypontja a T pont, azért ez az érintő ‐ közismerten ‐ átmegy TT' felezőpontján, azaz a B ponton. Ám a g egyenes is ilyen, hiszen úgy vettük fel, hogy átmenjen B ponton, és a P pontot rajta vettük fel. Így ‐ mivel a P pontban a parabolához csak egy érintő húzható, s ennek tulajdonságaival a g egyenes rendelkezik, ezért a fent megadott parabolát a g minden P esetén a P pontban érinti. És bármely g ugyanazt a fent megadott parabolát érinti, mivel a parabola adatai az e egyenestől ‐ és így a P ponttól ‐ függetlenek.