Feladat: F.2306 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Böröczky K. ,  Csere K. ,  Heckenast L. ,  Heckenast László ,  Károlyi Gyula 
Füzet: 1981/december, 196 - 198. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Koszinusztétel alkalmazása, Körérintési szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/március: F.2306

Az AOB negyedkör határoló sugarainak O-tól számított első harmadoló pontja A1, ill. B1. Számítsuk ki annak a körnek a sugarát, amely érinti az AA1, BB1 átmérőjű félköröket és az AB ívet. Egységnek az OA1 szakaszt válasszuk. Szerkesszük is meg a kör középpontját.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a feladat szövege a feladatban szereplő félköröknek csak az átmérőjét írja elő, egyelőre tekintsük az AA1 és BB1 átmérőjű köröket (és persze az AB negyedkörívet) azoknak az alakzatoknak, amelyeket érintenie kell a keresett körnek. A továbbiakban az AA1, ill. BB1 átmérőjű köröket jelölje kA, ill. kB, a keresett kört pedig k. Ha k kívülről érintené az AB ívet, vagy az AB ív érintené belülről k-t, akkor k-nak A-ban és B-ben egyidejűleg kellene érintenie az AB ívet, mivel kA és kB az AB ívet tartalmazó kör belsejében vannak. Ilyen feltételek mellett k csak maga az AB ívet tartalmazó kör lehetne. Két körív azonossága esetén viszont nem mondjuk azokat érintkezőknek.
Tehát k, belülről érinti az AB ívet, és kA, kB és k kölcsönös elhelyezkedését illetően a következő lehetőségek vannak: kA és kB érinthetik k-t 1. mindketten belülről, 2. mindketten kívülről, 3. egyikük belülről, másikuk kívülről. Mivel az adott körök az AOB szög szögfelezőjére nézve szimmetrikusan helyezkednek el, az első esetben k középpontja is az AOB szög szögfelezőjén van, a harmadik esetben pedig az OA vagy az OB szögszáron van k középpontja aszerint, hogy kA vagy kB érinti-e k-t belülről.
Érintse ugyanis k-t pl. kA belülről (1. ábra).

 

1. ábra
 

Jelölje k középpontját C, sugarát x, az AB ív és k érintési pontját E1, k és kA érintési pontját E2, kA középpontját A2. Mivel OC=3-x, CA2=x-1, OA2=2, ezért OC+CA2=OA2. Az OCA háromszög elfajuló, tehát C az OA egyenesen van.
A harmadik esetben mondottak az első esetre kétszeresen is alkalmazhatók, ezért az első esetben k középpontja csak O lehetne. Mivel azonban magát az AB ívet tartalmazó kört nem tekintjük megoldásnak, az első lehetőséget elvetjük.
 

2. ábra
 

A második esetben (2. ábra) a k kör sugarát x-szel jelölve a koszinusz-tétel szerint
(1+x)2=4+(3-x)2-4(3-x)cos45
ahonnan
x=6-324-2=9-3270,6796....

 

3. ábra
 

A harmadik esetben az OB2C derékszögű háromszögben (3. ábra)
(1+x)2=4+(3-x)2,

ahonnan
x=1,5.
Tehát a harmadik esetben a keresett kör középpontja az OA, ill. OB szakaszok felezőpontja lehet. Megállapodás dolga, hogy ezeket megoldásnak tekintjük-e, hiszen az érintési pontok ebben az esetben a feladatban szereplő körívek végpontjai.
Foglalkoznunk kell még a második esetben k középpontjának megszerkesztésével. Növeljük meg k sugarát az egységgel. Az így kapott kör átmegy a kA kör A2 és a kB kör B2 középpontján, továbbá az AOB szög szögfelezőjén levő, az O-tól 4 egységnyire fekvő D ponton (4. ábra).
 

4. ábra
 

Az A2B2D háromszög köré írható kör középpontját kell tehát megszerkesztenünk. Az így kapott C pontnak az OD egyenes és az AB negyedkörív E metszéspontjától való távolsága a keresett kör sugara.
 

 Heckenast László (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)