A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Mivel a feladat szövege a feladatban szereplő félköröknek csak az átmérőjét írja elő, egyelőre tekintsük az és átmérőjű köröket (és persze az AB negyedkörívet) azoknak az alakzatoknak, amelyeket érintenie kell a keresett körnek. A továbbiakban az , ill. átmérőjű köröket jelölje , ill. , a keresett kört pedig . Ha kívülről érintené az ívet, vagy az ív érintené belülről -t, akkor -nak -ban és -ben egyidejűleg kellene érintenie az ívet, mivel és az ívet tartalmazó kör belsejében vannak. Ilyen feltételek mellett csak maga az ívet tartalmazó kör lehetne. Két körív azonossága esetén viszont nem mondjuk azokat érintkezőknek. Tehát , belülről érinti az ívet, és , és kölcsönös elhelyezkedését illetően a következő lehetőségek vannak: és érinthetik -t 1. mindketten belülről, 2. mindketten kívülről, 3. egyikük belülről, másikuk kívülről. Mivel az adott körök az szög szögfelezőjére nézve szimmetrikusan helyezkednek el, az első esetben középpontja is az szög szögfelezőjén van, a harmadik esetben pedig az vagy az szögszáron van középpontja aszerint, hogy vagy érinti-e -t belülről. Érintse ugyanis -t pl. belülről (1. ábra).
1. ábra Jelölje középpontját , sugarát , az ív és érintési pontját , és érintési pontját , középpontját . Mivel , , , ezért . Az háromszög elfajuló, tehát az egyenesen van. A harmadik esetben mondottak az első esetre kétszeresen is alkalmazhatók, ezért az első esetben középpontja csak lehetne. Mivel azonban magát az ívet tartalmazó kört nem tekintjük megoldásnak, az első lehetőséget elvetjük.
2. ábra A második esetben (2. ábra) a kör sugarát -szel jelölve a koszinusz-tétel szerint | | ahonnan | |
3. ábra A harmadik esetben az derékszögű háromszögben (3. ábra) ahonnan Tehát a harmadik esetben a keresett kör középpontja az , ill. szakaszok felezőpontja lehet. Megállapodás dolga, hogy ezeket megoldásnak tekintjük-e, hiszen az érintési pontok ebben az esetben a feladatban szereplő körívek végpontjai. Foglalkoznunk kell még a második esetben középpontjának megszerkesztésével. Növeljük meg sugarát az egységgel. Az így kapott kör átmegy a kör és a kör középpontján, továbbá az szög szögfelezőjén levő, az -tól 4 egységnyire fekvő ponton (4. ábra).
4. ábra Az háromszög köré írható kör középpontját kell tehát megszerkesztenünk. Az így kapott pontnak az egyenes és az negyedkörív metszéspontjától való távolsága a keresett kör sugara. Heckenast László (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.) |