Feladat: F.2290 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dzvonyár Péter 
Füzet: 1981/szeptember, 11 - 12. oldal  PDF file
Témakör(ök): Racionális számok és tulajdonságaik, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/január: F.2290

Bizonyítsuk be, hogy 9/11 nem állítható elő három pozitív egész szám reciprokának összegeként. Van-e olyan 41/42 és 1 közötti racionális szám, amelyik előállítható három pozitív egész szám reciprokának összegeként?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az a, b, c pozitív egész számokból alkotott 1a+1b+1c kifejezést jelöljük K-val. A továbbiakban feltesszük, hogy abc.
Először bebizonyítjuk, hogy K értéke nem lehet 9/11. Mivel a4 esetén K3/4<9/11, elég azokat az eseteket megvizsgálnunk, amelyekben a3.
1. a=1 nem lehet, mivel 9/11 kisebb 1-nél.
2. a=2 esetén b>2 kell legyen. Ha b=3, akkor mára 1a+1b>911, ha b=4,5 ill. 6, akkor c-re nem egész érték (443,11013,ill.335) adódik. Ha b7, akkor K11/15<9/11, ezért ebben az esetben sincs megfelelő számhármas.
3. Végül ha a=3, akkor b=3, ill. 4 esetén c ismét törtszám lenne (33/5, ill. 132/31), b5 esetén pedig K11/15<9/11.
Minden esetet megvizsgáltunk, és egyik esetben sem találtunk megfelelő számhármast. A feladat első részében kimondott állítást ezzel bebizonyítottuk.
Vizsgáljuk meg ezek után a feladat második részében feltett kérdést. Ha a3, akkor K értéke a=b=c=3 esetén 1-gyel egyenlő, b3, c>3 esetén viszont már csak legfeljebb 11/12, ami kisebb 41/42-nél. Mivel a=1 sem lehetséges, a fennmaradó lehetőség a=2. Ekkor b3. Ha b=3, akkor K értéke c6 esetén legalább 1, c7 esetén pedig legfeljebb 41/42. Ha b=4, akkor c=4 esetén K=1, c5 esetén K19/20<41/42. Ha b5, akkor K9/10<41/42.
Több eset nem lévén, megállapíthatjuk, hogy a reciprokösszeg értéke nem eshet 41/42 és 1 közé. (L. L.)

 

 Dzvonyár Péter (Budapest, Könyves K. Gimn., IV. o. t.)
 

Megjegyzés. 41/42 és 1 már előállítható a kívánt módon, hiszen
12+13+17=4142
ill.
13+13+13=12+14+14=12+13+16=1.