Az $a$, $b$, $c$ pozitív egész számokból alkotott $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ kifejezést jelöljük $K$-val. A továbbiakban feltesszük, hogy $a\le b\le c$.
Először bebizonyítjuk, hogy $K$ értéke nem lehet $9/11$. Mivel $a\ge 4$ esetén $K\le 3/4<9/11$, elég azokat az eseteket megvizsgálnunk, amelyekben $a\le 3$.
1. $a=1$ nem lehet, mivel $9/11$ kisebb $1$-nél.
2. $a=2$ esetén $b>2$ kell legyen. Ha $b=3$, akkor mára $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>\frac{9}{11}$, ha $b=\mathrm{4,5}$ ill. $6$, akkor $c$-re nem egész érték $\left(\frac{44}{3}\mathrm{,}\frac{110}{13}\mathrm{,}\text{ill.<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>33</mn></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></mfrac></mrow></math>}\right)$ adódik. Ha $b\geqq 7$, akkor $K\le 11/15<9/11$, ezért ebben az esetben sincs megfelelő számhármas.
3. Végül ha $a=3$, akkor $b=3$, ill. $4$ esetén $c$ ismét törtszám lenne ($33/5$, ill. $132/31$), $b\ge 5$ esetén pedig $K\le 11/15<9/11$.
Minden esetet megvizsgáltunk, és egyik esetben sem találtunk megfelelő számhármast. A feladat első részében kimondott állítást ezzel bebizonyítottuk.
Vizsgáljuk meg ezek után a feladat második részében feltett kérdést. Ha $a\ge 3$, akkor $K$ értéke $a=b=c=3$ esetén $1$-gyel egyenlő, $b\ge 3$, $c>3$ esetén viszont már csak legfeljebb $11/12$, ami kisebb $41/42$-nél. Mivel $a=1$ sem lehetséges, a fennmaradó lehetőség $a=2$. Ekkor $b\ge 3$. Ha $b=3$, akkor $K$ értéke $c\leqq 6$ esetén legalább $1$, $c\ge 7$ esetén pedig legfeljebb $41/42$. Ha $b=4$, akkor $c=4$ esetén $K=1$, $c\ge 5$ esetén $K\leqq 19/20<41/42$. Ha $b\ge 5$, akkor $K9/10<41/42$.
Több eset nem lévén, megállapíthatjuk, hogy a reciprokösszeg értéke nem eshet $41/42$ és $1$ közé. (L. L.)