Feladat: F.2284 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Papp Gábor 
Füzet: 1981/október, 62 - 63. oldal  PDF file
Témakör(ök): Négyzetrács geometriája, Feladat, Konstruktív megoldási módszer
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/december: F.2284

Egy minden irányban végtelen négyzethálós papírlap mindegyik mezőjébe egy-egy pozitív egész számot kell írnunk a következő feltételekkel. Az n szám éppen n-szer forduljon elő (azaz 1 darab egyes, 2 darab kettes stb, szerepeljen a papírlapon), továbbá tetszőleges két közös oldalú mezőbe kerülő szám különbsége kisebb legyen egy előre adott k-nál.
Mi az a legkisebb egész k, melyre a kitöltést el lehet végezni ?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először is belátjuk, hogy a keresett k legalább 3. Az egyest tartalmazó mezőnek négy másik mezővel van közös oldala, ugyanakkor a papírlapon csak 2 darab kettes szerepel. Így az egyik szomszédos mezőbe kettőnél nagyobb szám kerül, tehát különbségük legalább 2.
A következőkben megmutatjuk, hogy k=3 esetén a kitöltés elvégezhető. A négyzetháló egy egyenesével a papírlapot két félsíkra osztjuk. Az egyik félsík mezőibe csak páratlan, a másik félsík mezőibe csak páros számokat írunk. Az egyest és a ketteseket a határegyenes mentén helyezzük el, úgy, hogy az egyik kettest tartalmazó mezőnek legyen közös oldala az egyest tartalmazó mezővel is, és a másik kettest tartalmazó mezővel is. Az egyes fölé és mellé hármasokat írunk, ezek fölé és mellé ötösöket és így tovább (1. ábra).

 

1. ábra
 

Hasonlóan járunk el a másik félsíkban a páros számok elhelyezésénél.
Az egyező számokat tartalmazó ék alakú rétegekben mindig kettővel nagyobb számok vannak, mint a megelőző rétegekben, az egyes rétegekben található számok száma is mindig 2-vel nő. Így ha 1 darab egyes és 2 darab kettes számból indultunk ki, akkor tetszőleges pozitív egész n is éppen n-szer fog előfordulni. A kitöltés módjából következik, hogy egy félsíkon belül a közös oldallal rendelkező mezőkben levő számok különbsége 2 vagy 0. A különböző félsíkokból való, közös oldallal rendelkező mezőkben levő számok pedig szomszédosak. A leírt kitöltés tehát megfelel a feladat feltételeinek.
 

2. ábra
 

 

3. ábra
 

 Papp Gábor (Budapest, Móricz Zs. Gimn., III. o. t.)
 

Megjegyzés. Megmutatható, hogy k=3 esetén minden megfelelő kitöltés az 1‐3. ábrákon látható kitöltésekből tükrözéssel, 90-os elforgatással, valamint eltolással állítható elő.