Feladat: F.2281 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1981/április, 155 - 157. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/november: F.2281

Két kör közül az egyik rögzített, a másik sugara szabadon változik, csak a középpontja rögzített.
Hogyan válasszuk meg a változó kör sugarát, hogy a két körnek legyen közös belső érintője és ennek a változó körön levő érintési pontja a két kör közös szimmetriatengelyétől a lehető legmesszebb legyen?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a rögzített kör sugara a hosszúságegység, középpontja a koordináta-rendszer origója, a másik kör centruma a C(c,0) pont és sugara r. A követelményekre tekintettel c>1 és 0rc-1.


Ekkor a belső közös érintők egyikének φ irányszögére ‐ az irány ismert szerkesztési elve szerint ‐
sinφ=1+rc,cosφ=1cc2-(1+r)2.
Ebből a kérdéses E érintési pontnak OC-től való távolsága
t=rsin(90-φ)=rcc2-(1+r)2.
Ez nem negatív, ezért elég megkeresnünk t2 maximumát:
t2=c2-1c2r2-2c2r3-1c2r4.
Keressük, hol tűnik el a deriváltja. Ez, mindjárt átrendezés után:
(-2rc2)(2r2+3r-c2+1)=0.

Az első tényező révén r=0 mellett teljesül ez, de mi nem ezt keressük, hiszen itt t=0.
A nagy zárójelbeli másodfokú polinomnak két különböző zérushelye van: r1, r2-ben, hiszen r1r2=-(c2-1)/2<0, előjelük különböző; legyen r1<0<r2. Így r1 nincs benne t értelmezési tartományában,
r2=-34+c22+116
viszont benne van, mert a tartomány jobb végpontjában, (c-1)-ben már pozitív a polinom értéke: c2-c=c(c-1)>0 (és mert a másodfokú tag együtthatója pozitív).
Az r2 helyen növekedve halad át a polinom, tehát a derivált csökkenően. Eszerint ott t2-nek maximuma van, és vele együtt t-nek is. Ezzel a feladatot megoldottuk.