Feladat: F.2270 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1981/január, 14 - 15. oldal  PDF file
Témakör(ök): Beírt háromszög, Terület, felszín, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/szeptember: F.2270

Adott egyenlő szárú derékszögű háromszögbe írjunk minden lehetséges módon szintén egyenlő szárú derékszögű háromszöget úgy, hogy a beírt háromszögek csúcspontjai az adott háromszög különböző oldalainak egy‐egy belső pontjával egyezzenek meg. A beírt háromszögek közül melyiknek a legkisebb a területe? Hányad része ez a legkisebb terület az adott háromszög területének?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az adott háromszög csúcsai A, B, C úgy, hogy AC=BC, a beírt háromszög csúcsa az AB átfogón D, a BC, CA befogón E, illetve F. Két esetet kell megkülönböztetnünk aszerint, hogy a beírt háromszög derékszögének csúcsa az eredeti háromszög átfogóján van-e, azaz D-ben, vagy pedig valamelyik befogóján. (Az már mindegy, hogy E-ben vagy F-ben, mert a befogók egyenlőségük miatt egyenrangúak.)
1. Legyen először DEF=90, vagyis egyszersmind ED=EF, ekkor könnyen szerkeszthetünk megfelelő háromszöget a BC-n fölvett E pontból kiindulva. Fordítsuk el az egész alakzatot E körül 90-kal abban az irányban, hogy az EB félegyenes új, EB' helyzete (képe) messe a BA szakaszt (1. ábra).

 

1. ábra
 

Ekkor a metszéspont éppen B', hiszen így CBA=45 miattB'E=BE.
Továbbmenve, a BA egyenes új helyzete a B'-ben BA-ra állított merőleges lesz, és ezen lesz rajta D-nek D' képe. Ámde követelésünk mellett D'-nek F-be kell esnie, eszerint a választott E-hez tartozó F-et egyértelműen kimetszi AC-ből az utóbbi merőleges. Továbbá F ismeretében D-t az E-ben EF-re állított merőlegessel metszhetjük ki BA-ból és arra valóban ED=EF. ‐ Könnyű belátni, hogy minden olyan E-hez tartozik megfelelő beírt háromszög, amelyre EC<EB, viszont más E-hez nem tartozik.
Legyen CA=1, és jelöljük EC-t x-szel ‐ ahol 0<x<1/2 ‐, így az AFB' háromszög révén AF=2x, tehát CF=1-2x, és a DEF háromszög területe, mindjárt teljes négyzetté kiegészítve
12EF2=12(CE2+CF2)=12(x2+(1-2x)2)=52(x-25)2+110.
Látható innen, hogy a terület legkisebb értéke 1/10 és ezt x=2/5 mellett fel is veszi, ez az érték benne van az x-re megállapított intervallumban.
Másfelől az ABC háromszög területe 1/2, ennek 1/5 részét teszi ki a DEF háromszög területére talált minimális érték.
2. Legyen most EDF=90 és vele együtt DE=DF. Fordítsuk el az alakzatot D körül 90-kal abban az irányban, hogy a DF' félegyenes messe a CB egyenest. (Ez elérhető, mert D belső pont az AB oldalszakaszon.) Ekkor A-nak A' képe a D-ben AB-re állított merőleges és az AC egyenes metszéspontja, míg az AC egyenes képe az A'-ben AC-re állított merőleges, ezen lesz F' (2. ábra).
 

2. ábra
 

Megfelelő DEF háromszög esetében F' egybeesik E-vel, ami viszont a C csúcsban AC-re állított merőlegesen van. Eszerint megfelelően beírt háromszög csak akkor lehetséges, ha a két merőleges azonos, vagyis A' azonos C-vel; evégett pedig D-ként az AB átfogó felezőpontjából kellett kiindulnunk.
Ebben a beírásmódban is végtelen sok megfelelő DEF háromszög létezik, de most amiatt, hogy E-t nem kapjuk meg egyértelműen, az AC oldal belsejében tetszőlegesen vett F-hez tartozik megfelelő E csúcs (3. ábra).
 

3. ábra
 

Mivel a DEF háromszög területe DF2/2, nyilvánvalóan akkor legkisebb ez, ha DF0 merőleges AC-re, és ekkor DF0=1/2, a terület 1/8, az ABC háromszög területének 1/4 része.
Ez a minimális érték nagyobb, mint amit az első beírásmód mellett kaptunk, tehát az egyenlő szárú derékszögű háromszögbe beírt egyenlő szárú derékszögű háromszög területe legalább 1/5 része a befogadó háromszög területének, és ezt a legkisebb értéket akkor kapjuk, ha a beírt háromszög derékszögének csúcsa az egyik befogón van, és távolsága az első háromszög derékszög csúcsától 2a/5 távolságban, ahol a a befogó hossza.
 

Megjegyzések. 1. A második beírásmód mellett DA=DB szükségessége abból is kiadódik, hogy a CEDF négyszög ‐ a szemben fekvő derékszögei alapján ‐ húrnégyszög, és így ACD=FCD=FED=45.
2. Előkészíthetjük válaszunkat ,,a feladat megfordításának elve'' alapján is, vagyis hogy rögzített egyenlő szárú derékszögű háromszög köré maximális területű egyenlő szárú derékszögű háromszöget akarunk írni. Ebben a felfogásban az A, B, C csúcsok egy-egy látóköríven mozognak (4‐5. ábra). Ajánljuk az érdeklődőknek az ötlet kidolgozását.
 

4. ábra
 

 

5. ábra
 

3. Gyakori hiba volt ‐ már a versenyen is ‐, hogy az első beírásmód mellett D, E, F-et az illető oldal egyik harmadoló pontjának vették. Így a terület aránya 2/9>2/10=1/5, nem a minimumot kapjuk.