A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyenek az adott háromszög csúcsai , , úgy, hogy , a beírt háromszög csúcsa az átfogón , a , befogón , illetve . Két esetet kell megkülönböztetnünk aszerint, hogy a beírt háromszög derékszögének csúcsa az eredeti háromszög átfogóján van-e, azaz -ben, vagy pedig valamelyik befogóján. (Az már mindegy, hogy -ben vagy -ben, mert a befogók egyenlőségük miatt egyenrangúak.) 1. Legyen először , vagyis egyszersmind , ekkor könnyen szerkeszthetünk megfelelő háromszöget a -n fölvett pontból kiindulva. Fordítsuk el az egész alakzatot körül -kal abban az irányban, hogy az félegyenes új, helyzete (képe) messe a szakaszt (1. ábra). 1. ábra Ekkor a metszéspont éppen , hiszen így miatt. Továbbmenve, a egyenes új helyzete a -ben -ra állított merőleges lesz, és ezen lesz rajta -nek képe. Ámde követelésünk mellett -nek -be kell esnie, eszerint a választott -hez tartozó -et egyértelműen kimetszi -ből az utóbbi merőleges. Továbbá ismeretében -t az -ben -re állított merőlegessel metszhetjük ki -ból és arra valóban . ‐ Könnyű belátni, hogy minden olyan -hez tartozik megfelelő beírt háromszög, amelyre , viszont más -hez nem tartozik. Legyen , és jelöljük -t -szel ‐ ahol ‐, így az háromszög révén , tehát , és a háromszög területe, mindjárt teljes négyzetté kiegészítve | | Látható innen, hogy a terület legkisebb értéke és ezt mellett fel is veszi, ez az érték benne van az -re megállapított intervallumban. Másfelől az háromszög területe , ennek részét teszi ki a háromszög területére talált minimális érték. 2. Legyen most és vele együtt . Fordítsuk el az alakzatot körül -kal abban az irányban, hogy a félegyenes messe a egyenest. (Ez elérhető, mert belső pont az oldalszakaszon.) Ekkor -nak képe a -ben -re állított merőleges és az egyenes metszéspontja, míg az egyenes képe az -ben -re állított merőleges, ezen lesz (2. ábra).
2. ábra Megfelelő háromszög esetében egybeesik -vel, ami viszont a csúcsban -re állított merőlegesen van. Eszerint megfelelően beírt háromszög csak akkor lehetséges, ha a két merőleges azonos, vagyis azonos -vel; evégett pedig -ként az átfogó felezőpontjából kellett kiindulnunk. Ebben a beírásmódban is végtelen sok megfelelő háromszög létezik, de most amiatt, hogy -t nem kapjuk meg egyértelműen, az oldal belsejében tetszőlegesen vett -hez tartozik megfelelő csúcs (3. ábra).
3. ábra Mivel a háromszög területe , nyilvánvalóan akkor legkisebb ez, ha merőleges -re, és ekkor , a terület , az háromszög területének része. Ez a minimális érték nagyobb, mint amit az első beírásmód mellett kaptunk, tehát az egyenlő szárú derékszögű háromszögbe beírt egyenlő szárú derékszögű háromszög területe legalább része a befogadó háromszög területének, és ezt a legkisebb értéket akkor kapjuk, ha a beírt háromszög derékszögének csúcsa az egyik befogón van, és távolsága az első háromszög derékszög csúcsától távolságban, ahol a befogó hossza. Megjegyzések. 1. A második beírásmód mellett szükségessége abból is kiadódik, hogy a négyszög ‐ a szemben fekvő derékszögei alapján ‐ húrnégyszög, és így . 2. Előkészíthetjük válaszunkat ,,a feladat megfordításának elve'' alapján is, vagyis hogy rögzített egyenlő szárú derékszögű háromszög köré maximális területű egyenlő szárú derékszögű háromszöget akarunk írni. Ebben a felfogásban az , , csúcsok egy-egy látóköríven mozognak (4‐5. ábra). Ajánljuk az érdeklődőknek az ötlet kidolgozását. 4. ábra
5. ábra 3. Gyakori hiba volt ‐ már a versenyen is ‐, hogy az első beírásmód mellett , , -et az illető oldal egyik harmadoló pontjának vették. Így a terület aránya , nem a minimumot kapjuk. |