Feladat: F.2268 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csente Mária 
Füzet: 1981/január, 12 - 13. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenlőtlenségek, Négyzetszámok összege, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/szeptember: F.2268

Az x1, x2, x3, x4, x5 valós számok négyzetösszege 1. A ±x1±x2±x3±x4±x5 összegben minden lehetséges módon megválasztjuk az előjeleket és elvégezzük a kijelölt műveleteket. Bizonyítsuk be, hogy az így kapott 32 szám abszolút értékeinek összege legfeljebb 32.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az előjelek különböző megválasztásával kapható számokat jelöljük S1,S2,...,S32-vel. Azt kell bizonyítanunk tehát, hogy

S=|S1|+|S2|+...+|S32|32.
Az (|Si|-1)20 egyenlőtlenség alapján 2|Si|1+Si2 tehát
2S32+(S12+S22+...+S322).(1)
Vizsgáljuk meg a zárójelben álló négyzetösszeget. Tetszőleges i-re
Si2=x12+x22+x32+x42+x52±2x1x2±2x1x3±...±2x4x5.
Az első öt tag összege a feltétel szerint 1, ezek összege 32. Megmutatjuk, hogy a kétszeres szorzatok kiesnek. Valóban, 2xjxk előtt + jel áll, ha Si-ben xj és xk egyező előjelű ‐ ez 16 esetben van így ‐, a többi 16 esetben pedig ‐ 2xjxk szerepel. Így tehát S12+...+S322=32, amivel (1) alapján beláttuk a feladat állítását.
Egyenlőség csak akkor áll, ha |Si|=1 minden i=1,2,...,32-re, ez pedig azt jelenti, hogy az x1,x2...,x5 számok közül ez egyik 1 abszolút értékű, a többi pedig nulla.
 

 Csente Mária (Komarno, Magyar Tannyelvű Gimn., III. o. t.)