Kezdőlap


Feladat:	F.2268	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csente Mária
Füzet:	1981/január, 12 - 13. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Négyzetszámok összege, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/szeptember: F.2268

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az előjelek különböző megválasztásával kapható számokat jelöljük $S_{1}, S_{2}, ..., S_{32}$ -vel. Azt kell bizonyítanunk tehát, hogy

\begin{matrix} S = | S_{1} | + | S_{2} | + ... + | S_{32} | \leq 32 . \end{matrix}

{(| S_{i} | - 1)}^{2} ≧ 0

egyenlőtlenség alapján

2 | S_{i} | \leq 1 + S_{i}^{2}

tehát

\begin{matrix} 2 S \leq 32 + (S_{1}^{2} + S_{2}^{2} + ... + S_{32}^{2}) . \end{matrix}

(1)

Vizsgáljuk meg a zárójelben álló négyzetösszeget. Tetszőleges

i

-re

\begin{matrix} S_{i}^{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} + x_{5}^{2} \pm 2 x_{1} x_{2} \pm 2 x_{1} x_{3} \pm ... \pm 2 x_{4} x_{5} . \end{matrix}

Az első öt tag összege a feltétel szerint

1

, ezek összege

32

. Megmutatjuk, hogy a kétszeres szorzatok kiesnek. Valóban,

2 x_{j} x_{k}

előtt

+

jel áll, ha

S_{i}

-ben

x_{j}

és

x_{k}

egyező előjelű ‐ ez

16

esetben van így ‐, a többi 16 esetben pedig ‐

2 x_{j} x_{k}

szerepel. Így tehát

S_{1}^{2} + ... + S_{32}^{2} = 32

, amivel (1) alapján beláttuk a feladat állítását.
Egyenlőség csak akkor áll, ha

| S_{i} | = 1

minden

i = 1, 2, ..., 32

-re, ez pedig azt jelenti, hogy az

x_{1}, x_{2} ..., x_{5}

számok közül ez egyik 1 abszolút értékű, a többi pedig nulla.

Csente Mária (Komarno, Magyar Tannyelvű Gimn., III. o. t.)