Feladat: F.2259 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Andrássy P. ,  Barla F. ,  Csikós F. ,  Czakó F. ,  Danyi P. ,  Dósa Gy. ,  Drávucz Katalin ,  Erdős 205 Judit ,  Fodor L. ,  Horváth 302 A. ,  Horváth 718 I. ,  Kántor Zsolt ,  Kappelmayer Hedvig ,  Kelemen B. ,  Kerényi I. ,  Kiss 352 Gy. ,  Kiss E. ,  Kovács 134 I. ,  Krähling János ,  Laki Éva ,  Megyeri L. ,  Mendrey Zs. ,  Mihálykó Cs. ,  Simonyi G. ,  Slenker Gy. ,  Sz. Nagy Cs. ,  Szállási Z. ,  Szirmai L. ,  Tóth 264 L. ,  Tranta Beáta ,  Öreg E. Zs. 
Füzet: 1980/november, 130 - 131. oldal  PDF file
Témakör(ök): Többszemélyes véges játékok, Sakk, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/május: F.2259

B és C a következő játékot játssza. B elhelyez egy királynőt az n×n-es sakktábla felső sorának valamelyik mezőjére. Ezután a királynővel a sakk szabályai szerint felváltva lépegetnek, de csak olyan mezőre tehetik a bábut, amelyik közelebb van a bal alsó sarokhoz, mint amelyiken előzőleg állt. Először C lép. Az a játékos veszít, aki a bal alsó sarokba kénytelen tolni a bábut. Ki nyer n=8 esetén? Keressünk olyan n-et, amelyikre a másik játékosnak van nyerő stratégiája.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük (i; j)-vel a sakktáblának azt a mezőjét, amely balról számítva az i-edik oszlopban és alulról számítva a j-edik sorban van. Egy mező a bal alsó sarokhoz közelebb van, ha középpontjának a tábla bal alsó sarokpontjától mért távolsága kisebb a másik mező középpontja távolságánál. Tehát pl. (1; 2) közelebb van a bal alsó sarokhoz, mint (2; 2). Lássuk el az n×n-es sakktábla mezőit a "+'' és "-'' jelek valamelyikével az alábbiak szerint (1. ábra):
I. Az (1; 1)-es mező legyen - .
II. A többi mező közül legyen
 a) + minden olyan mező, ahonnan a szabályoknak megfelelően csak --ra léphetünk,
 b) - minden olyan mező, ahonnan a szabályoknak megfelelően léphetünk +-ra is.

 

|8----+---|7--------|6---+----|5-------+|4-----+--|3--+-----|2+-------|1-+------|123456781. ábra|--------|---+----|--------|--+-----|------+-|----+---|++------|-+------|2. ábra
 


Mivel "+'' jelet csak akkor írhatunk egy mezőbe, ha már minden olyan mezőt megjelöltünk, ahová az illető mezőről léphetünk, célszerű a mezők megjelölését a bal alsó saroktól távolodva végezni. A bal alsó saroktól egyenlő távolságra levő mezők megjelölésének sorrendje tetszőleges. Egy távolabbi mezőt egy közelebbinél előbb is megjelölhetünk, ha róla a közelebbi mezőre nem lehet lépni. Ez lehetővé teszi például, hogy először a 2×2-es tábla mezőit jelöljük meg, majd ezt bővítsük 3×3-asra és így tovább. (Nem tudunk ugyanis a királynővel egyetlen m×m-es tábláról sem lelépni.)
A felső sorban az (5; 8) mezőbe + jel kerül. Ha B ide helyezi a bábut, C csak - jelű mezőre tud lépni, ahonnan B ismét léphet + mezőre stb: A + és - mezők tulajdonságai folytán B arra kényszerítheti C-t, hogy mindig + mezőről lépjen. Mivel a bábu minden lépésben közelebb kerül a bal alsó sarokhoz, C legkésőbb a negyedik lépésében kénytelen (1; 1)-be tolni a bábut, tehát B nyer.
A 7×7-es táblán viszont fordított a helyzet. A felső sor bármelyik mezőjére is helyezi B a bábut, C nyerni tud éppen az előbb leírt stratégia alapján.
 

 Kántor Zsolt (Győr, Czuczor G. Bencés Gimn., IV. o. t.)
 
Megjegyzések. 1. Felvetődhet a feladatnak olyan értelmezése is, amelyben "sarok'' alatt sarokmezőt értünk. Ekkor az (1; 2) és a (2; 2) mező ugyanolyan messze van a bal alsó saroktól. Az eredmény szempontjából ez nem közömbös, hiszen ekkor a 8×8-as táblát a 2. ábra szerint tölthetjük ki. Ekkor C-nek van nyerő stratégiája, a 7×7-es táblán pedig B-nek.
2. Igazolható, hogy az 1. ábra kitöltését folytatva a ([5+12k]+1;
[5+32k]+1), valamint a ([5+32k]+1,[5+12k]+1) mezőkbe (k=2,3,...) kerül + jel. Így B-nek akkor és csak akkor van nyerő stratégiája, ha n=2,3 vagy n=[5+32k]+1 valamilyen k2 egész számra.