Feladat: F.2247 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Beleznay F. ,  Bogár P. ,  Bohner R. ,  Bohus G. ,  Csere K. ,  Csikós Zs. ,  Drávucz Katalin ,  Elek G. ,  Elter J. ,  Feledi György ,  Fodor L. ,  Görög I. ,  Heckenast L. ,  Horányi T. ,  Horváth 302 A. ,  Horváth 718 I. ,  Kámán L. ,  Kapos L. ,  Kappelmayer Hedvig ,  Károlyi Gy. ,  Kelemen B. ,  Keszthelyi S. ,  Kiss 352 Gy. ,  Kiss E. ,  Kurusa Á. ,  Laki Éva ,  Maloveczky Gy. ,  Megyeri L. ,  Ódor T. ,  Regős Enikő ,  Salánki S. ,  Simonyi G. ,  Somogyi H. ,  Sz. Nagy Cs. ,  Szegedy P. ,  Szirmay L. ,  Umann G. ,  Zsilinszky L. 
Füzet: 1980/november, 123. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Nevezetes egyenlőtlenségek, Feladat, Trigonometriai azonosságok
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/március: F.2247

Jelöljük egy háromszög szögeit 2X, 2Y, 2Z-vel. Bizonyítsuk be, hogy
sinXcos(Y-Z)+sinYcos(Z-X)+sinZcos(X-Y)32.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlőtlenség bal oldalán álló kifejezésen azonos átalakításokat hajtunk végre. Az átalakítás módját az első tagon mutatjuk be:

sinXcos(Y-Z)=2sinXcosX2cosXcos(Y-Z)=sin2X2sin(Y+Z)cos(Y-Z)=sin2Xsin2Y+sin2Z.
Az átalakítások során felhasználtuk, hogy cosX=sin(Y+Z)0 (Y+Z pótszöge X-nek), továbbá azt, hogy
sin[(Y+Z)+(Y-Z)]+sin[(Y+Z)-(Y-Z)]=2sin(Y+Z)cos(Y-Z).
Vezessük be a következő jelöléseket:
sin2Y+sin2Z=2A,sin2X+sin2Z=2B,sin2X+sin2Y=2C.


Megállapíthatjuk, hogy A, B és C pozitív mennyiségek. Ezek alapján a bizonyítandó egyenlőtlenség bal oldalán álló kifejezés a következő alakban írható:
B+C-A2A+A+C-B2B+A+B-C2C.
Ezt tovább alakítva:
12[(BA+AB)+(CA+AC)+(CB+BC)-3].
Mivel bármely pozitív számnak és reciprokának az összege legalább 2, a bizonyítandó egyenlőtlenség valóban fennáll. Egyenlőség csak akkor áll fenn, ha A=B=C, vagyis ha X=Y=Z=30, a háromszög szabályos.
 (L. L.)
 

 Feledi György (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)