Kezdőlap


Feladat:	F.2247	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Beleznay F. , Bogár P. , Bohner R. , Bohus G. , Csere K. , Csikós Zs. , Drávucz Katalin , Elek G. , Elter J. , Feledi György , Fodor L. , Görög I. , Heckenast L. , Horányi T. , Horváth 302 A. , Horváth 718 I. , Kámán L. , Kapos L. , Kappelmayer Hedvig , Károlyi Gy. , Kelemen B. , Keszthelyi S. , Kiss 352 Gy. , Kiss E. , Kurusa Á. , Laki Éva , Maloveczky Gy. , Megyeri L. , Ódor T. , Regős Enikő , Salánki S. , Simonyi G. , Somogyi H. , Sz. Nagy Cs. , Szegedy P. , Szirmay L. , Umann G. , Zsilinszky L.
Füzet:	1980/november, 123. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Nevezetes egyenlőtlenségek, Feladat, Trigonometriai azonosságok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/március: F.2247

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlőtlenség bal oldalán álló kifejezésen azonos átalakításokat hajtunk végre. Az átalakítás módját az első tagon mutatjuk be:

\begin{matrix} \frac{sin X}{cos (Y - Z)} = \frac{2 sin X cos X}{2 cos X cos (Y - Z)} = \frac{sin 2 X}{2 sin (Y + Z) cos (Y - Z)} = \frac{sin 2 X}{sin 2 Y + sin 2 Z} . \end{matrix}

Az átalakítások során felhasználtuk, hogy

cos X = sin (Y + Z) \neq 0

(

Y + Z

pótszöge

X

-nek), továbbá azt, hogy

\begin{matrix} sin [(Y + Z) + (Y - Z)] + sin [(Y + Z) - (Y - Z)] = 2 sin (Y + Z) cos (Y - Z) . \end{matrix}

Vezessük be a következő jelöléseket:

\begin{matrix} sin 2 Y + sin 2 Z = 2 A, \\ sin 2 X + sin 2 Z = 2 B, \\ sin 2 X + sin 2 Y = 2 C . \end{matrix}

Megállapíthatjuk, hogy

A

B

és

C

pozitív mennyiségek. Ezek alapján a bizonyítandó egyenlőtlenség bal oldalán álló kifejezés a következő alakban írható:

\begin{matrix} \frac{B + C - A}{2 A} + \frac{A + C - B}{2 B} + \frac{A + B - C}{2 C} . \end{matrix}

Ezt tovább alakítva:

\begin{matrix} \frac{1}{2} [(\frac{B}{A} + \frac{A}{B}) + (\frac{C}{A} + \frac{A}{C}) + (\frac{C}{B} + \frac{B}{C}) - 3] . \end{matrix}

Mivel bármely pozitív számnak és reciprokának az összege legalább 2, a bizonyítandó egyenlőtlenség valóban fennáll. Egyenlőség csak akkor áll fenn, ha

A = B = C

, vagyis ha

X = Y = Z = 30^{\circ}

, a háromszög szabályos.
(L. L.)

Feledi György (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)